Theorema Magnum MDCCCXCIII: Hilberts Nullstellensatz

Der 1799 von Carl Friedrich Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra besagt bekanntlich, dass jedes Polynom komplexe Nullstellen hat, außer natürlich es handelt sich um ein (von Null verschiedenes) konstantes Polynom.

Die Verallgemeinerung auf Polynome in mehreren Veränderlichen ist der 1893 von David Hilbert bewiesene Nullstellensatz. Er besagt, dass Polynome f₁,…,f_k eine gemeinsame Nullstelle haben, außer es gibt Polynome g₁,…,g_k mit f₁g₁+…+f_kg_k=1.

Die letztere Ausnahmebedingung kann man so formulieren, dass das von f₁,…,f_k erzeugte Ideal der gesamte Polynomring ist, es sich als nicht um ein echtes Ideal handelt. Man kann den Nullstellensatz also auch so formulieren, dass es für jedes echte Ideal im Polynomring C[x₁,…,x_n] eine gemeinsame Nullstelle aller Polynome im Ideal gibt.

Man hat also zu jedem echten Ideal seine nichtleere Nullstellenmenge V(I). Umgekehrt kann man zu jeder Teilmenge des Cⁿ das Ideal der auf dieser Menge verschwindenden Polynome betrachten. Für V(I) bekommt man dann eventuell ein etwas größeres Ideal als I, das Radikal von I, das ist die Menge aller Polynome f mit f^r∈I. Wenn eine Varietät V durch ein Ideal J gegeben ist, dann muss also ein auf V verschwindendes Polynom f zwar nicht unbedingt zum Ideal J gehören, aber jedenfalls eine hinreichend große Potenz f^r.

Der Nullstellensatz gibt damit eine Äquivalenz zwischen (radikalen) Idealen und Nullstellenmengen. Das würde später einmal grundlegend für die algebraische Geometrie werden, interessierte die Leute zu Hilberts Zeiten aber wohl noch nicht. In den Arbeiten der italienischen Schule der algebraischen Geometrie spielten Ideale wohl gelegentlich eine Rolle, ihre heutige Bedeutung als Grundlage der algebraischen Geometrie bekam der Zugang über Ideale aber erst durch Oscar Zariskis Neuaufbau der algebraischen Geometrie in den 40er Jahren. Allgemeiner formulierte man den Nullstellensatz später als eine Äquivalenz von Kategorien: die Kategorie affiner algebraischer Varietäten über algebraisch abgeschlossenen Körpern ist äquivalent zum Dual der Kategorie der endlich erzeugten kommutativen Algebren ohne nilpotente Elemente. (Das stimmt nicht nur über den komplexen Zahlen, sondern allgemein über algebraisch abgeschlossenen Körpern, und ist der Grund dafür, dass große Teile der algebraischen Geometrie nur für algebraisch abgeschlossene Körper funktionieren.)

Der wesentliche Punkt im Beweis des Nullstellensatzes ist eine Aussage der Körpertheorie: jede endlich erzeugte Körpererweiterung ist algebraisch. Die Idee für diesen Satz ist folgende: wenn man zeigen will, dass eine von endlich vielen rationalen Funktionen f₁,…,f_n erzeugte Erweiterung des Körpers nicht ganz k(x) sein kann, dann betrachtet man einen Punkt c, der keine Polstelle einer der f_i ist. Die Funktion 1/(x-c) gehört dann zu k(x), aber nicht zu der endlichen Erweiterung. Aus dieser Idee kann man einen vollständigen Beweis machen, den man dort findet.

Als eine Konsequenz bekommt man den „schwachen Nullstellensatz“, demzufolge jedes Maximalideal im Polynomring R=k[x₁,…,x_n] von der Form (x₁-c₁)…(x_n-c_n) ist, die Maximalideale im Polynomring also gerade den Punkten (c₁,…,c_n) im kⁿ entsprechen. (Vorausgesetzt, k ist algebraisch abgeschlossen.) Dies folgt, weil für ein Maximalideal m der Quotient R/m ein Körper und damit eine endlich erzeugte Körpererweiterung ist, also gleich k. Die Quotientenabbildung R—>R/m bildet x_i auf gewisse c_i ab, womit m das von den x_i-c_i erzeugte Ideal enthält, welches aber maximal ist und also mit m übereinstimmen muß. (Dieser Beweis funktioniert nur für algebraisch abgeschlossene Körper. Beispielsweise ist (x²+1) ein Maximalideal in R[x], welches nicht von dieser Form ist.)

Aus dem schwachen Nullstellensatz folgt schließlich der Nullstellensatz, was man heute mit dem Rabinowitsch-Trick beweist.

Erwähnenswert ist noch, dass Brownawell und Kollár 1987 bzw. 1988 bewiesen haben, dass man die Grade der Polynome g_i für die f^r=f₁g₁+…+f_kg_k ist, effektiv beschränken kann. Diese oberen Schranken sind aber exponentiell in der Anzahl der Variablen n.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:David_Hilbert_1886.jpg