Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geschlossene Kurve auf einer Brezelfläche die Fläche in zwei getrennte Komponenten zerlegt? (So wie im Bild oben die mittlere Kurve, während die anderen beiden Kurven die Fläche nicht zerlegen.)
Maryam Mirzakhani, Fields-Medaillistin 2014, hatte diese Wahrscheinlichkeit seinerzeit als Nebenprodukt ihrer Berechnung des Volumens des Modulraums hyperbolischer Metriken mit 1/7 berechnet. Allgemein hatte sie gezeigt, dass man einen in ihren Berechnungen vorkommenden Quotienten
In einer Ende August auf dem ArXiv erschienenen Arbeit haben
Vincent Delecroix, Elise Goujard, Peter Zograf und Anton Zorich einen neuen Ansatz für Mirzakanis Berechnungen gefunden. In ihrem Ansatz zerlegt sich der Modulraum hyperbolischer Metriken in Teile, die zu den verschiedenen (topologischen Typen von) Multikurven auf der Fläche assoziiert sind und deren einzelner Beitrag zum Volumen gerade proportional zu den genannten Wahrscheinlichkeiten ist. (Zu einer Multikurve hat man nach Kontsevich einen stabilen Graphen und zu diesem ein Polynom, dessen Koeffizienten Schnittzahlen im Modulraum sind. Eine zu diesem Polynom assoziierte Zetafunktion berechnet dann den „Anteil der Multikurve“ zum Volumen des Modulraums. Das Bild unten zeigt die Berechnungen für die Fläche vom Geschlecht 2.)
Insbesondere fanden sie bei ihrer Arbeit einen Rechenfehler in Mirzakhanis Arbeit. Es stellt sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit für eine geschlossene Kurve, die Brezelfläche in zwei Komponenten zu zerlegen, nicht 1/7, sondern 1/49 ist. (In der obigen Berechnung verhalten sich die ersten beiden Beiträge zum Volumen des Modulraums wie 1:48.) Dieses Ergebnis wird durch eine heute auf dem ArXiv erschienene Berechnung der ersten 2,404,171 Multikurven von Mark Bell experimentell bestätigt.
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