Theorema Magnum MCMV: Schurs Lemma

In seiner 1900 erschienenen Arbeit Über die Charaktere der symmetrischen Gruppe nutzte Frobenius die Orthogonalitätsrelationen und den Reziprozitätssatz, um eine Bijektion zwischen den irreduziblen Charakteren der symmetrischen Gruppe S_n und den (heute durch Young-Tableaux veranschaulichten) Partitionen von n zu beweisen. Mit den Orthogonalitätsrelationen bewies er, dass seine Klassenfunktionen tatsächlich die Charaktere der S_n sind. Die daraus folgende Berechnung der Gruppendeterminante ermöglichte Hurwitz dann die Anzahl der n-blättrigen Riemannschen Flächen mit genau w Verzweigungspunkten zu berechnen. Diese entsprechen den Lösungen von t₁…t_w=1 in Transpositionen t_i in S_n und die Anzahl dieser Lösungen ist – worauf Hurwitz der Schachweltmeister Lasker hingewiesen hatte – ein Koeffizient einer gewissen Funktion, die eng mit der Gruppendeterminante der symmetrischen Gruppe zusammenhängt.

Neben zahlentheoretischen Anwendungen war die Theorie der endlichen Gruppen Motivation für die Entwicklung der Charaktertheorie. Die später als Frobeniusgruppen bezeichneten Gruppen von Permutationen mit höchstens einem Fixpunkt und deren von Frobenius bewiesene Zerlegung als semidirektes Produkt wurden dort ein wichtiges Hilfsmittel, die spektakulärste Anwendung der Charaktertheorie war aber der 1904 von Burnside bewiesene Satz, dass endliche Gruppen der Ordnung p^aq^b auflösbar sind. Sowohl der Satz von Burnside als auch der von Frobenius sind anscheinend nicht anders beweisbar als mit Charaktertheorie.

Issai Schur setzte mit vielen Arbeiten zur Gruppen- und Darstellungstheorie das Werk seines Lehrers Frobenius fort. In seiner Doktorarbeit 1901 hatte er die polynomiellen (komplexen) Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,C) bestimmt. Grundlegend wurde aber die 1905 geschriebene Arbeit Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere. Sie arbeitete mit Matrixdarstellungen, also Homomorphismen der Gruppe in die Matrizengruppe GL(n,K), und verallgemeinerte Frobenius Charaktertheorie auf Darstellungen über Körpern, deren Charakteristik teilerfremd zur Gruppenordnung ist.

Zu einer solchen Darstellung ρ:G—>GL(n,K) assoziierte er die Gruppenmatrix Σ_{g ∈ G} ρ(g)x_g, wobei x_g die formalen Erzeuger des Gruppenrings sind. Eine irreduzible Darstellung ist dann eine, deren Gruppenmatrix nicht konjugiert zu einer Blockmatrix ist. In dieser Sprache formulierte er das grundlegende Lemma: wenn es zu zwei irreduziblen Gruppenmatrizen X,Y eine konstante Matrix P mit XP=PY gibt, dann ist entweder P=0 oder X,Y sind äquivalent und P ein Isomorphismus.

Heute formuliert man das so, dass eine äquivariante Abbildung zwischen zwei irreduziblen Darstellungen entweder 0 ist oder ein Isomorphismus. In dieser Formulierung ist das Lemma unmittelbar einsichtig: Kern und Bild sind invariante Unterräume, also 0 oder der ganze Raum, und da gibt es dann keine anderen Möglichkeiten mehr als dass die Abbildung 0 oder ein Isomorphismus ist. Diesen einfachen Beweis in der Sprache der linearen Algebra hatte Schur noch nicht, bei ihm ging der Beweis über Zerlegungen von Matrizen.

Während der erste Teil von Schurs Lemma auch für reelle Darstellungen stimmt, gilt der folgende zweite Teil nur für komplexe: eine äquivariante Abbildung zwischen zwei komplexen, irreduziblen Darstellungen ist die Multiplikation mit einem Skalar. Beweis: es gibt einen komplexen Eigenwert λ, obdA nicht Null, damit ist f-λId kein Isomorphismus, nach dem ersten Teil von Schurs Lemma also 0.

Eine zentrale Anwendung von Schurs Lemma ist die Bestimmung der Zentrums einer Matrizengruppe: das Zentrum von GL(n,C) besteht nur aus den skalaren Vielfachen der Identitätsabbildung. Der Beweis nutzt, dass eine Matrix A genau dann zum Zentrum gehört, wenn die Abbildung v->Av äquivariant für die Standarddarstellung von GL(n,C) ist.

Eine andere grundlegende Anwendung von Schurs Lemma ist die Klassifikation der irreduziblen Darstellungen abelscher Gruppen: diese müssen immer 1-dimensional sein. Der Beweis nutzt, dass für festes g die Abbildung v–>ρ(g)v äquivariant ist – dies gilt genau dann, wenn die Gruppe abelsch ist. Nach Schurs Lemma muß dann v auf ein Vielfaches von v abgebildet werden, v erzeugt also einen 1-dimensionalen invarianten Unterraum. Wegen der Irreduzibilität folgt 1-Dimensionalität der Darstellung.

Irreduzible Darstellungen der Kreisgruppe S¹ sind also alle von der Form ρ_m(z):v->e^2πimzv für eine ganze Zahl m. D.h., die irreduziblen Darstellungen der Kreisgruppe entsprechen den ganzen Zahlen. Ähnlich sind die irreduziblen Darstellungen des n-Torus alle von der Form ρ_(m1,…,mn)(z₁,…,z_n)=e^{2πi<(m₁,…,m_n),(z₁,…,z_n)>}, also durch das Skalarprodukt mit einem Vektor (m₁,…,m_n)∈Zⁿ bestimmt.