Mit Schurs Lemma kann man für eine Darstellung ρ einer abelschen Gruppe H ihre “Gewichte” definieren als diejenigen Homomorphismen λ:H->C, für die jedes ρ(h) einen Eigenwert λ(h) hat. Das wurde später wichtig für die Klassifikation der Darstellungen halbeinfacher oder kompakter Lie-Gruppen durch ihr jeweils höchstes Gewicht.
Mit Schurs Lemma war die Darstellungstheorie abelscher Gruppen erledigt. Die einfachste nichtabelsche Gruppe S3, hat nach Frobenius drei irreduzible Darstellungen (die triviale Darstellung, die Signumsdarstellung und die 2-dimensionale Darstellung durch Permutatationen der Ecken eines gleichseitigen Dreiecks), für die man die Matrixkoeffizienten anschauen und sie (wie vorher die Charaktere) als Vektor schreiben kann. Für die 1-dimensionalen Darstellungen sind die Matrixkoeffizienten die Vektoren (1,1,1,1,1,1) und (1,-1,-1,-1,1,1). Für die 2-dimensionale Darstellung hat man vier Matrixkoeffizienten und man berechnet, dass beispielsweise der Eintrag oben links den Vektor (1,-1/2,1,-1/2,-1/2,-1/2) oder der Eintrag oben rechts den Vektor (0,√3/2,0,-√3/2,-√3/2,√3/2) gibt. Es fällt auf, dass auch diese Vektoren alle orthogonal zueinander sind, und Schur bewies als allgemeine Regel die Orthogonalitätsrelationen für Matrixkoeffizienten von Darstellungen endlicher Gruppen. Schur betonte, dass diese implizit bereits aus den bekannten Orthogonalitätsrelationen für Charaktere folgen, sie aber bisher nicht in der Literatur vorkamen.
Für irreduzible Darstellungen folgt aus den Orthogonalitätsrelationen, dass Darstellungen mit gleichen Charakteren äquivalent sind. Für endliche Gruppen bewies Schur dies auch allgemein unter der Voraussetzung, dass die Charakteristik des Grundkörpers kein Teiler der Gruppenordnung ist. (Für unendliche Gruppen gibt es weitere Ausnahmen, wie etwa Darstellungen durch Dreiecksmatrizen, die dieselben Charaktere haben wie Darstellungen durch Diagonalmatrizen.) Bis auf singuläre Fälle enthalten Charaktere also bereits alle Informationen über die zugrundeliegenden Darstellungen.
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