Frage:
In der Physik ist man bestrebt mehrere Formeln zusammenzufassen , um dann vielleicht einen Parameter herauskürzen zu können.
Ist hier das Umgekehrte gemeint, eine Formel zu erweitern , damit sie verständlicher wird ?
Thilo,
Sie könnten ja mal so ein Thema ein wenig garnieren, damit auch Nichtmathematiker verstehen, worum es geht.
@Robert:
“In der Physik ist man bestrebt mehrere Formeln zusammenzufassen , um dann vielleicht einen Parameter herauskürzen zu können.”
Können Sie dafür vielleicht ein Beispiel geben? Ich verstehe nämlich (trotz Physikstudiums) nicht, was Sie damit meinen.
Nun zum Artikel (ich bin zwar nicht Thilo, aber versuchen kann ich es ja trotzdem einmal):
In den reellen Zahlen gibt es (nichtkonstante) Polynome, die keine Nullstellen haben. Z.B. x² + 1. Aber man kann die reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen erweitern, und in den komplexen Zahlen hat jedes (nichtkonstante) Polynom eine Nullstelle (oder, äquivalent dazu: es kann als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden). x² + 1 hat dann z.B. die Nullstellen i und -i. Und man kann sogar zeigen, dass es in wesentlichen genau eine Möglichkeit gibt, die reellen Zahlen so zu erweiteren.
Der Satz um den es im Artikel geht besagt, dass das nicht nur bei den reellen Zahlen so ist, sondern in jedem Körper. Wenn es in einem Körper nichtkonstante Polynome ohne Nullstellen gibt, dann kann man den Körper auf (im wesentlichen) genau eine Art erweitern, so dass in diesem erweiterten Körper jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle hat.
In der Physik hat dieser Satz vermutlich keine Anwendungen. Körper die nicht die reellen oder die komplexen Zahlen sind, kommen in der Physik ja praktisch nicht vor.
Tox,
ein einfaches Beispiel, bei dem der Parameter Masse weggekürzt werden kann.
Herleitung der Pendelgleichung
Wir wollen zeigen, dass bei einem mathematischen Pendel die Periodendauer nicht von der Masse des Pendelkörpers abhängt.
Ausgangspunkt ist eine lineare Schwingung mit einer Feder.
k = F / dl , k = Federkonstante , F = Kraft , dl = delta Länge
Für deren Periodendauer gilt
A) T = 2 Pi mal Wurzel ( m / k )
Auf die Herleitung mit Differentialgleichung wird hier verzichtet.
Um jetzt auf das mathematische Pendel zu kommen, setzen wir k = D , D = Richtgröße
Beim mathematischen Pendel gilt
B) D = mg / l , m = Masse g = Erdbeschl. l = Pendellänge
Daraus folgt , dass die Richtgröße von der Masse, der Erdbeschleunigung und der Pendellänge abhängt.
Setzen wir Formel B in A ein, dann wird aus T = 2 Pi mal Wurzel (m / D ) , k= D !
T = 2 Pi mal Wurzel ( m l / mg ) !!
Der Parameter Masse ist in dieser Formel noch enthalten .
Gekürzt durch m , T = 2 Pi mal Wurzel (g / l )
Der große Nachteil der gekürzten Gleichung ist, dass man nicht erkennen kann, warum die Pendeldauer von der Masse unabhängig ist.
Ich wollte jetzt wissen, ob dieses Beispiel erklärt, warum mathematische Körper erweitert und gekürzt werden können.
@Robert:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich wirklich verstanden habe, was du mit diesem Beispiel ausdrücken willst.
Der Grund (wenn man unbedingt einen einzelnen Grund haben will), warum die Periodendauer eines mathematischen Pendels nicht von der Masse abhängt, ist doch letztlich das Äquivalenzprinzip.
Mit Körpererweiterungen in der Algebra hat das nichts zu tun, und “Kürzen” gibt es da auch nicht. Vielleicht ist der Begriff “Erweiterung” der Grund der Verwirrung. Damit ist nicht das Erweitern von Brüchen gemeint.
Einen Bruch zu erweitern bedeutet, eine andere Darstellung für die selbe Zahl zu finden, indem man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert.
Einen Körper zu erweitern bedeutet (sehr stark vereinfacht), mehr Zahlen zu “erfinden”, so dass bestimmte Gleichungen einfacher oder überhaupt gelöst werden können.
Das sind zwei komplett verschiedene Dinge, für die man leider den selben Begriff verwendet.
Tox,
damit wir nicht aneinander vorbeireden, muss ich mir erst mal den Unterschied von Körper und algebraischer Struktur klar machen. Bis später !
Danke.
Tox,
nach dem Körperbegriff, dem Gruppenbegriff bin ich bei komplexwertigen Funktionen, dem Fundamentalsatz der Algebra und zuletzt bei dem Satz von Picard gelandet.
Das ist formale Mathematik und die kann ich auf die Schnelle nicht überblicken, nur erahnen. Meinen Respekt habt ihr verdient.
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