Theorema Magnum MCMXIII: der Satz vom höchsten Gewicht

Darstellungen von Lie-Gruppen kommen heute überall in der theoretischen Physik vor, historisch waren sie im 19. Jahrhundert vor allem in der Invariantentheorie von Interesse: dort betrachtet man beispielsweise die Wirkung von SL(n,C) auf dem Raum der homogenen Polynome vom Grad d in n Variablen.

Damals wie heute interessiert man sich nur für differenzierbare Darstellungen. (Alles andere wäre zu kompliziert, zum Beispiel gibt es überabzählbar viele unstetige Homomorphismen R—->R.) Für differenzierbare Darstellungen kann man das Differential als Darstellung der zugehörigen Lie-Algebra betrachten. Darstellungen von Lie-Algebren sind einfacher zu verstehen, weil man dort die Methoden der linearen Algebra anwenden kann. (Und nach den Lieschen Sätzen gibt es zu jedem Lie-Algebren-Homomorphismus einen Homomorphismus der zugehörigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen.)

Für die allgemeine lineare Gruppe GL(n,C) hat Issai Schur 1901 in seiner Dissertation die polynomiellen Darstellungen klassifiziert.
Für GL(2,C) erhält man zu jeder natürlichen Zahl m die – von der natürlichen Darstellung auf C² induzierte – m-dimensionale Darstellung auf Sym^m-1(C²), was man als Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad m-1 in zwei Variablen x,y interpretieren kann. Diese Darstellung ist irreduzibel und alle irreduziblen, polynomiellen Darstellungen entstehen auf diese Weise. (Für die Lie-Algebra sl(2,C) erhält man so alle irreduziblen Darstellungen.)
Für GL(3,C) erhält man zunächst zu jedem Paar natürlicher Zahlen a,b die – von der natürlichen Darstellung auf V=C³ induzierte – Darstellung auf Sym^a(V) ⊗ Sym^b(V*). Diese ist nicht irreduzibel. Man kann aber die natürliche Kontraktion Sym^a(V) ⊗ Sym^b(V*) —-> Sym^a-1(V) ⊗ Sym^b-1(V*) betrachten und ihr Kern R^a,b ist eine irreduzible Darstellung. Wenn a und b die natürlichen Zahlen durchlaufen, bekommt man alle polynomiellen Darstellungen (und tatsächlich alle irreduziblen Darstellungen der Lie-Algebra sl(3,C)) auf diese Weise als R^a,b für ein Paar natürlicher Zahlen.
Auf ähnliche Weise bekommt man auch für größere n die polynomiellen Darstellungen der GL(n,C) als Kerne von Kontraktionen zwischen Tensorprodukten symmetrischer Algebren. Schur konnte jeder Partition d=λ₁+…+λ_k einer ganzen Zahl d eine (evtl. triviale) Darstellung der GL(n,C) zuordnen – den sogenannten Schur-Modul S_λCⁿ – analog zu Frobenius‘ Klassifikation der Darstellungen der symmetrischen Gruppe S_d durch Partitionen von d.

Élie Cartan hatte 1894 in seiner Dissertation die Arbeiten von Wilhelm Killing zur Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren erstmals verständlich dargestellt. Ein wichtiges Element in Killings Arbeit war die Cartan-Algebra a gewesen, eine maximale abelsche Unteralgebra der halbeinfachen Lie-Algebra. Für eine Darstellung der Lie-Algebra lassen sich die kommutierenden Elemente der Cartan-Algebra simultan diagonalisieren. Man kann also ihre gemeinsamen Eigenräume betrachten, die sogenannten Gewichtsräume. (Nach Schurs Lemma kann man die Gewichtsräume 1-dimensional wählen.) Zu jedem Gewichtsraum gehört ein „Gewicht“, also ein Homomorphismus a–>C, der den Eigenwert eines Elements von a auf diesem Eigenraum angibt.

Für sl(n,C)={A∈Mat(n,C): Spur(A)=0} ist die Unteralgebra der Diagonalmatrizen eine Cartan-Algebra a. Im Fall sl(2,C) besteht diese aus den Diagonalmatrizen diag(a,-a), wobei a alle komplexen Zahlen durchläuft. Für die m-dimensionale Darstellung von sl(2,C) auf Sym^m-1(C²) rechnet man leicht nach, dass es m jeweils 1-dimensionale Gewichtsräume gibt und die zugehörigen Gewichte den Erzeuger diag(1,-1) auf jeweils eine der m Zahlen m-1, m-3, m-5, … , 3-m, 1-m abbilden. Die irreduziblen Darstellungen sind also nicht nur durch die Gewichte eindeutig bestimmt, sie sind bereits durch das höchste Gewicht m-1 eindeutig festgelegt.

Diese Zuordnung eines höchsten Gewichtes ist insofern willkürlich, dass wir als höchstes Gewicht dasjenige bezeichnet haben, welches den höchsten Wert auf dem Erzeuger diag(1,-1) annimmt. Hätten wir den Erzeuger diag(-1,1) betrachtet, dann wäre der zum höchsten Gewicht gehörende Gewichtsraum ein anderer gewesen. Es hätte sich aber nichts daran geändert, dass das höchste Gewicht die Darstellung eindeutig festlegt.

Für allgemeinere halbeinfache Lie-Algebren legte Cartan nun (willkürlich) eine Basis der Cartan-Algebra fest (die sogenannten einfachen Wurzeln) und definierte dann das höchste Gewicht als dasjenige, das auf den (einfachen) positiven Wurzeln die höchsten Werte annimmt.
Für sl(n,C) bilden die Diagonalmatrizen eine Cartan-Algebra mit Wurzeln , als positive Wurzeln kann man die wählen, für die i kleiner ist als j, und als einfache Wurzeln die mit . Das Bild zeigt das Wurzelsystem für sl(3,R). In diesem Fall ist a der zweidimensionale Raum der Diagonalmatrizen diag(l₁,l₂,l₃) mit l₁+l₂+l₃=0, als einfache Wurzeln sind α=diag(1,-1,0) und β=diag(0,1,-1) gewählt. Die Darstellung R^a,b entspricht dem höchsten Gewicht, welches α auf a und β auf b abbildet.