Theorema Magnum MCMXXX: Existenz unendlich vieler Geodätischer

Während Birkhoffs Beweis im 2-dimensionalen Fall das Minimax-Prinzip verwendete (womit Birkhoff später dann auch einen weiteren Beweis für den allgemeinen Fall der Morse-Ungleichungen fand), basierte Morse‘s Beweis auf der später nach ihm benannten Morse-Theorie. Dort betrachtet man für eine Funktion f:M—->R, deren kritische Punkte nicht-ausgeartet sind, ihre Zerlegung in Niveaumengen und will dann untersuchen, wie sich die Topologie ihrer Subniveaumengen M_c={f(x)≤c} mit wachsendem c ändert.

Wenn zwischen zwei Werten a und b keine kritischen Werte von f liegen, dann liefert der Gradientenfluss einen Diffeomorphismus zwischen M_a und M_b. Wenn zwischen den beiden Werten ein kritischer Wert vom Index i liegt, dann ändert sich jedoch die Topologie der Subniveaumenge: M_b entsteht aus M_a durch Ankleben eines i-Henkels. Das zweite Resultat wird gelegentlich als Fundamentalsatz der Morse-Theorie bezeichnet. Es folgt letztlich aus dem Morse-Lemma, demzufolge es in der Umgebung eines nicht-ausgearteten kritischen Punktes Koordinaten x₁,…,x_n gibt, in denen f die einfache Form
f(x)=f(0)-x₁²-…-x_i²+x_i+1²+…+x_n² hat.

Mit diesem Ansatz bekommt man beispielsweise einen einfachen Beweis der Klassifikation der Flächen, also dass jede geschlossene, orientierbare Fläche durch Ankleben von Henkeln an die Sphäre entsteht. Für 3–Mannigfaltigkeiten bekommt man entsprechend die Existenz der Heegaard–Zerlegung einer geschlossenen, orientierbaren 3–Mannigfaltigkeit in Henkelkörper.

Morse-Theorie betrachtet stets nur nicht-ausgeartete kritische Punkte, für die dann also das Morse-Lemma gilt. Lusternik und Shnirelman, zwei junge, aber bereits etablierte Mathematiker an der Moskauer Universität – sie waren die treibenden Kräfte einer Initiativgruppe, die die Moskauer Mathematische Gesellschaft von Reaktionären säubern und deren Zeitschrift Sovietskii Mathematicheskii Sbornik neu organisieren sollte – konnten teils bessere Ergebnisse erzielen, weil sie für beliebige differenzierbare Funktionen f (nicht nur solche, deren kritische Punkte nichtausgeartet sind) eine Abschätzung für die Anzahl crit(f) kritischer Punkte angeben konnten, die dann natürlich schwächer war als die unter restriktiveren Bedingungen von Morse erhaltene. Sie definierten die „Kategorie“ cat(M) einer Mannigfaltigkeit M als die kleinste Anzahl offener, in der Mannigfaltigkeit kontrahierbarer Mengen, durch die man die Mannigfaltigkeit überdecken kann, und bewiesen dann die Ungleichung für beliebige f. 1929 lösten sie das von Poincaré gestellte Problem der Existenz von mindestens drei geschlossenen Geodäten (ohne Selbstschnitte) auf einer konvexen, geschlossenen Fläche im dreidimensonalen Raum. (Ihr Beweis wurde Ende der 70er Jahre von Ballmann vervollständigt. Birkhoff hatte in seiner Arbeit von 1917 nur die Existenz einer geschlossenen Geodäten beweisen können.) Für Geodäten ohne Selbstschnitte ist ihr Ergebnis optimal, weil es für „fast runde“ Ellipsoide genau drei solcher Geodäten gibt. Allerdings hat man auch dort unendlich viele prime Geodäten mit Selbstschnitten.

Morse konnte mit seinen Methoden zwar nicht die Existenz geschlossener Geodäten, aber die von Geodäten zwischen Punkten p≠q beweisen. Im nicht-ausgearteten Fall, wenn p und q nicht konjugiert sind, approximierte er den unendlich-dimensionalen Raum der Wege von p nach q durch die endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten der in k Zeitpunkten t₁,…,t_k gebrochenen Geodäten der Energie kleiner einer Konstante C. Auf diese endlich-dimensionale Mannigfaltigkeit konnte er die Morse-Theorie anwenden und damit eine Henkelzerlegung dieser endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten erhalten. Die Subniveaumengen des auf diese endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten eingeschränkten Energiefunktionals sind aber für hinreichend große k und C Deformationsretrakte der Subniveaumengen des Energiefunktionals auf dem gesamten Wegeraum. Insbesondere muß es mindestens so viele kritische Punkte des Energiefunktionals (also Geodäten von p und q) geben wie die Dimension der Homologiegruppen des Wegeraums angibt. Für Metriken auf der Sphäre gibt es also unendlich viele Geodäten zwischen nicht-konjugierten Punkten p≠q.
Den Fall beliebiger Punkte p≠q konnte er erst später mit Hilfe des Lemma von Sard lösen, aus dem man als Folgerung erhält, dass jede Funktion durch Morse-Funktionen approximiert werden kann. Mit diesem Lemma konnte Morse dann mittels einer Approximation von konjugierten Punkten durch Folgen nicht-konjugierter Punkte die Existenz unendlich vieler Geodäten zwischen konjugierten Punkten p≠q beweisen.
Der Fall p=q, also die Frage nach unendlich vielen geschlossenen Geodäten für eine beliebige Metrik auf der Sphäre, ist bis heute offen.