Coronabedingt soll man heuer einen Mindestabstand von d=1,5 Metern einhalten. Für den Mathematiker wirft das die Frage auf, wie sich Menschen positionieren sollen, um unter dieser Vorgabe eine möglichst geringe Fläche zu verbrauchen.
In einem Artikel vom 21. Juni hatte Andrés Navas diese Frage für eine Gruppe von 4 Personen diskutiert. Wenig überraschend ist das Quadrat hier optimal. Das aus zwei gleichseitigen Dreiecken gebildete Parallelogramm würde eine deutlich größere Fläche beanspruchen hätte zwei Ecken mit größerem Abstand als die gegenüberliegenden Ecken im Quadrat. Der Maximalabstand zwischen zwei Personen würde im ersten Fall , im zweiten Fall betragen.
Im dreidimensionalen Raum könnte man die vier Personen sogar so anordnen, dass alle jeweils den Abstand d voneinander haben, nämlich indem man sie auf die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders setzt.
Wie sieht es aus, wenn man mehr als 4 Personen anordnen will? Dann ist die optimale Anordnung (in der Ebene) nicht auf Quadraten, sondern die auf den Ecken eines aus regelmäßigen Dreiecken bestehenden Gitters, wie Navas in einem neuen Artikel vom 1. August diskutiert.
Äquivalent kann man die Menschen auch auf die Mittelpunkte eines Sechseckgitters stellen, das ist genau dieselbe Anordnung:
In Chile, wo ja gerade Winter ist, wütet Corona (wie wohl in ganz Südamerika und Südafrika) zur Zeit besonders stark. Navas, der in Santiago de Chile arbeitet, erwähnt in seinem Artikel, dass man in diesen Tagen an manchen Orten auf den Boden gemalte Sechsecke zur räumlichen Distanzierung hat, wie auf diesem Foto aus seiner Heimatstadt:
Wenn Menschen sich in die Mittelpunkte dieser Sechsecke stellen, erreichen sie also tatsächlich die geforderte räumliche Distanzierung bei minimalem Flächenverbrauch.
Beim Photo allerdings führt mich der ZylinderEffekt ziemlich in die Irre, ‘Abstand ist doch höchstens Füße bis Hintern groß’. Irgendwelche perspektivischen Ungenauigkeiten ignorierend passts aber doch: ShiftRotate.
…schoneinmal eine aehnliche Diskussion.
Dort gibt es zunaechst um die Frage wie viele Monde in die Erde passen,- und anschliessend in den Kommentaren um die Relevanz des hoeherdimensionalen Sphere-Packing fuer die Signalcodierung bei digitalen Uebertragungen.
Jetzt also um die Stapelung von Menschen 🙂
Spanendes Thema.
Thilo schrieb (2. August 2020):
> […] Mindestabstand von = 1,5 Metern […]
> […] wie sich Menschen positionieren sollen, um unter dieser Vorgabe eine möglichst geringe Fläche zu verbrauchen.
Sofern die Menschen so (d.h. typischerweise “aufrecht”) stehen sollen, dass ihre Richtung der größten Ausdehnung senkrecht zur beanspruchten Fläche liegt, und sofern deren Ausdehnung in Richtung der geringsten Ausdehnung in der beachspruchten Fläche für alle gleichermaßen sein soll,
können Menschen in einer Reihe nebeneinander auf eine rechteckige Fläche der Größe
gestellt werden,
wobei für alle gleichermaßen die Ausdehnung jedes einzelnen in Richtung der Reihe sein soll, und der Mindestabstand “streng” von Körperrand zu Körperrand eingehalten werden soll (und nicht etwa z.B. “nur” von Körpermitte zu Körpermitte).
Für großzügige Abschätzungen und Vergleiche lässt sich etwa = 0,4 Meter und = 0,8 Meter setzen, so dass
Quadratmeter.
> Wenig überraschend ist das Quadrat hier optimal. Das aus zwei gleichseitigen Dreiecken gebildete Parallelogramm würde eine deutlich größere Fläche beanspruchen.
Jedenfalls ist die Fläche eines Quadrates der Seitenlänge größer als die Fläche zweier gleichseitiger Dreiecke der Seitenlänge (unabhängig davon, ob sie zu einem gleichseitigen Rhombus zusammengesetzt sind, oder nicht):
> Im dreidimensionalen Raum könnte man die vier Personen sogar so anordnen, dass alle jeweils den Abstand voneinander haben, nämlich indem man sie auf die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders setzt.
(… Richtig. …)
> Anders sieht es aus, wenn man mehr als 4 Personen anordnen will. […]
Würden fünf oder sogar mehr Personen im dreidimensionalen Raum so angeordnet, dass alle jeweils den Abstand voneinander haben, dann wäre diese Anordnung (und daher entsprechend auch der sie enthaltene Raum) erheblich gekrümmt.
@#n-2
Lange Rede, kurzer Sinn. Vier Personen, die sich in einer Reihe im Abstand d aufstellen, verbrauchen gar keine Fläche.
Man sollte das Problem umformulieren.
Vier Personen(..) in einer Reihe (..) verbrauchen gar keine Fläche
*räusper* Nee, Fluffy, mal ganz abgesehen davon, daß so mancher toches fun meyn mischpoke den Raum krümmt (man wird zu einer Umlaufbahn gezwungen), sind schon allein meine Quadratlatschen ziemlich flächenbedürftig.
umformulieren
Kaum. Allerdings ein wenig doch, damit selbst der Wapplernde sich nicht mehr zu “alle jeweils den Abstand d voneinander haben” versteigt: “alle Benachbarten..”.
Da spielt mir wohl ein Abstraktionsvermögen einen Streich?
Punktförmige Menschen in einer Euklidischen Ebene.
Aber angenommen du stehst mit deinen Quadratlatschen in einem Quadrat der Länge b, dann verbrauchen vier Personen in einer Reihe die Fäche
(4b+3d)*b
Stehen sie im Quadrat die Fläche
(2b+d)^2
Boa ist das scheisse langweilig und macht mich überhaupt nicht feucht. Wie muss sich das Hirn langweilen sich mit sowas zu beschäftigen.
.
Gott sei dank kommt da der NHL Mongo ins Forum geschneit mit seinen hirnverbrannten Ausreißern und dieser Website die ein Affe auf LSD und Frontpage besser hinbekommen hätte.
Das ist ein sisnnvoller Artikel. Wenn wir den Menschen jetzt mal auf seinen Kopf reduzieren, also dort, wo die Viren ausgeatmet und eingeatmet werden, dann ist die Sechseckform die optimale Positionierung. Das weiß übrigens jede Biene, wenn sie die Waben baut.
Man könnte diese Lösung auf 3D optimieren, weil ja die Menschen verschieden groß sind. Das bedeutet, dass sich die Menschen in einer Warteschlange nicht nur in horizontaler Ebene im Sechseck positionieren, sonder auch in vertikaler. Das wird etwas anspruchsvoller, weil die Anordnung groß – klein nicht ausreicht, auch alle Zwischengrößen müssen optimiert sein.
Wenn man das darstellt, dann sieht das aus wie die Oberfläche eines bewegten Meeres, wo die Wellen in allen Richtungen sich brechen. Anmerkung , dann ist das Warten auch nicht mehr so langweilig. Und wenn die Menschen laufen, dann sollen sich immer Kleine und Große abwechseln. So wird der Abstand zwischen Ihnen größer je größer der Größenunterschied zwischen ihnen ist. Eine Formel wäre doch jetzt mal fällig !
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