Die Mathematik von Penrose‘s Singularitätentheorem

Von Thilo / 6. Oktober 2020 / 47 Kommentare

Roger Penrose ist heute mit dem Physik-Nobelpreis ausgezeichnet worden für sein Singularitätentheorem, das die Existenz von schwarzen Löchern vorhersagt, welche von den beiden anderen Preisträgern Reinhard Genzel und Andrea Ghez dann in unserer Galaxie entdeckt wurden.

Was ist der mathematische Inhalt des Singularitätentheorems?

In der allgemeinen Relativitätstheorie geht es um pseudo-Riemannsche Metriken auf einer Raum-Zeit, die der Einsteinschen Feldgleichung genügen sollen, wobei g den metrischen Tensor (d.h. die semi-Riemannsche Metrik), Ric den Ricci-Tensor (das ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors) und Scal die Skalarkrümmung (das ist die Spur des Ricci-Tensors) bezeichnet. Λ ist die kosmologische Konstante und auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuum Null ist.

Das einfachste Beispiel ist die Minkowski-Metrik auf dem R³⁺¹. Eine kompliziertere klassische Lösung ist zum Beispiel die Schwarzschild-Metrik, bei der es eine Singularität gibt und jenseits dieser Singularität noch einmal eine gespiegeltes Kopie der oberen Hälfte. In der SF-Literatur wird das gelegentlich verwendet für Geschichten über Raumfahrer, die durch ein schwarzes Loch fliegen und sich dann in einer Anti-Welt wiederfinden.

Masselose Teilchen wie Photonen (vulgo: Licht) bewegen sich auf Nullgeodäten, d.h. die Tangentialvektoren der Geodäten haben bzgl. der pseudo-Riemannschen Metrik die Länge Null.
Eine Raumzeit heißt nullgeodätisch unvollständig, wenn es Nullgeodäten gibt, die sich nicht bis zur Zeit t=∞ fortsetzen lassen.
Ein einfaches Beispiel aus der Riemannschen Geometrie wäre , wo sich etwa die in (0,1) startende Geodäte nur bis t=1 und nicht in diesen Punkt hinein oder darüber hinaus fortsetzen läßt.

Der Singularitätensatz von Penrose gibt mathematische Bedingungen, unter denen eine Raumzeit nullgeodätisch unvollständig ist. Man kann also diese Bedingungen nachprüfen und weiß dann, dass es schwarze Löcher gibt, aus denen das Licht nicht mehr herauskommt.

Die präzisen mathematischen Bedingungen sind erwartungsgemäß kompliziert zu formulieren; ich kopiere sie einfach aus der Wikipedia:

- Die starke Energiebedingung gilt entlang aller kausaler Kurven.

- Jede kausale Kurve mit Tangentialvektorfeld u^a enthält einen Punkt mit nicht verschwindender effektiver Krümmung: .

- Die Raumzeit ist chronologisch.

- Die Raumzeit enthält mindestens eines der folgenden:

* eine abgeschlossene raumartige Fläche T, deren mittleres Krümmungsvektorfeld vergangenheitsgerichtet und zeitartig ist.

* eine kompakte achronale (raum- oder lichtartige) Untermannigfaltigkeit T ohne Rand

* einen Punkt x so, dass entlang jeder vollständig in die Vergangenheit (in die Zukunft) fortgesetzten Nullgeodäte vom Punkt x ausgehend mit dem Tangentialvektorfeld u^a, die Spur des kovarianten Ableitungstensors der Nullgeodätenschar aus x negativ wird.

Kommentare (47)

#1 Fluffy
6. Oktober 2020

Folgt die Existenz Schwarzer Löcher nicht schon aus der Schwarzschild-Lösung?
#2 Thilo
6. Oktober 2020

Ja, aber das ist ja nur eine spezielle Lösung. (und es gibt keinen wirklichen Grund anzunehmen, dass diese spezielle Lösung die “richtige” ist, die unser Universum beschreibt) Das Singularitätentheorem gilt für alle Lösungen, solange sie die Bedingungen erfüllen. Man weiß ja bisher nicht, welche der vielen mathematischen Lösungen die physikalisch richtige ist.
#3 Viielen Dank
6. Oktober 2020

In einer explodierenden (Actio) massereichen Sonne, die mindestens 3/2mal mehr Masse als die Sonne hat, werden durch den Implosionsdruck (Reactio) Elektronen und Protonen und Photonen im Kern der Sonne zusammengequetscht. Der nichtlineare Elektromagnetismus der gequetschten Photonen erzeugt Neutrinos, so dass kollidierende Elektronen und Protonen in Neutronen ungewandelt werden.
Ist der Implosionsdruck zu gering, entsteht nur ein Neutronenstern.
Ist der Implosionsdruck groß genug, werden die in den Neutronen steckenden Protonen in Positronen umgewandelt.
Durch die Materie-Antimaterie-Annihilation von mindestens 3/2 Sol wird die Raumzeit nullgeodätisch unvollständig und das eine Galaxis zertrümmernde Annihilations-Licht bei T gleich 0 Kelvin in einem schwarzen Loch sehr lange eingefangen.
Vielen Dank!
#4 Karl-Heinz
6. Oktober 2020

@Viielen Dank

Besser du isst WIENER KAISERSCHMARRN und behältst deine Weisheiten für dich. 😉
#5 Joseph Kuhn
7. Oktober 2020

@ Karl-Heinz:

Vielleicht hat er es satirisch gemeint?

Die Vorstellung von gequetschten Photonen hat jedenfalls was, auch wenn es zum Nobelpreis wohl nicht reicht.
#6 Karl-Heinz
7. Oktober 2020

@Joseph Kuhn

Den Begriff – gequetschtes Licht – gibt’s ja wirklich. 😉

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gequetschtes_Licht
#7 Dirk Siebert
München
7. Oktober 2020

Kennt jemand Beispiele für Antiwelt-Science-Fiction?
#8 peter johnee1
new york
7. Oktober 2020

Surely someone will love you just for your smile. To the world, you are just an individual, cookie clicker but for someone, you are the world
#9 Karl Mistelberger
mistelberger.net
7. Oktober 2020

Ein bisschen verdaulicher formuliert:

Looking at the Whole of Spacetime

Two theoretical breakthroughs paved the way for global analyses of spacetime structures without the need for specific solutions of Einstein’s equation. In 1955 Amal Kumar Raychaudhuri introduced evolution equations for curves describing the flow of nearby point particles without making assumptions about the homogeneity, or isotropy of the background spacetime.

A few years later Roger Penrose proposed an extremely powerful diagrammatic technique for capturing the global causal structure of any spacetime. These techniques allow the global properties of spacetimes to be gleaned. For example, Penrose was able to show that, rather than being artifacts of specific solutions, spacetime singularities are a generic outcome of gravitational collapse.

https://journals.aps.org/general-relativity-centennial

https://en.wikipedia.org/wiki/Raychaudhuri_equation
#10 Karl-Heinz
7. Oktober 2020

@Karl Mistelberger

Sehr interessante Links.
Danke
#11 Fluffy
10:25
7. Oktober 2020

@ Charly Mistelburger in #9

A bit more digestibler formulated

I have it me allowed to put your text ( is it really yours?) into a computer ferry machine.

Zwei theoretische Durchbrüche ebneten den Weg für globale Analysen von Raumzeitstrukturen ohne die Notwendigkeit spezifischer Lösungen der Einsteinschen Gleichung. Im Jahr 1955 führte Amal Kumar Raychaudhuri Evolutionsgleichungen für Kurven ein, die die Strömung von nahegelegenen Punktteilchen beschreiben, ohne Annahmen über die Homogenität oder Isotropie der Hintergrund-Raumzeit zu treffen.

Einige Jahre später schlug Roger Penrose eine extrem leistungsfähige diagrammatische Technik zur Erfassung der globalen Kausalstruktur einer beliebigen Raumzeit vor. Diese Techniken ermöglichen es, die globalen Eigenschaften von Raumzeiten zu erfassen. So konnte Penrose beispielsweise zeigen, dass Raumzeitsingularitäten keine Artefakte spezifischer Lösungen sind, sondern ein generisches Ergebnis des Gravitationskollapses.

best greetings
#12 suporttehniccomfp
Р РѕСЃСЃРёСЏ
7. Oktober 2020

Hi,

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-Daniel
Lets Goooo!
#13 Vielen Dank
7. Oktober 2020

Als Raum und Zeit getrennt existierten, war die zeitliche Ableitung eines Impulsvektors (Beschleunigung) gleich 0, wenn der Impulsvektor gleich 0 ist.
Mit anderen Worten, ein auf dem Fußball stehender Fuß, der den Fußball festhält, bewegt den ruhenden Fußball nicht, selbst wenn der Fuß schief auf dem Fußball ruht.
Als Einstein 3-dimensionalen Raum und 1-dimensionale Zeit verschmolz und die Ableitung eines 4-dimensionalen Tensors bildete, stellte er fest, dass ruhende Fußbälle von einem ruhenden festhaltenden Fuß (Tensor) beschleunigt werden. Mit anderen Worten, im 4D-Kontinuum ist die Ableitung eines 4D-Tensors ungleich 0, wenn ein einwirkender Tensor gleich 0 ist, was keine Physik ist. Einstein hätte nun alles Mögliche z.B. die MOND-Theorie entwickeln können, die eine kosmologische Schranke einführt, um Newtons Gravitationsformel hinter der Schranke wieder exakt geltend zu machen, womit zu hohe Rotationsgeschwindigkeiten der Außenbereiche von Galaxien erklärt werden können. Tat er aber nicht.

Was macht der Physiker, wenn etwas nicht passt?
Er macht es nicht exakt aber passend in Form von Omega minus Omega’.
Was macht der homologe Mathematiker, wenn etwas nicht exakt ist?
Er kann beweisen, dass eine Zahl a existiert, die ein Element von R ist, so dass Omega minus a*Omega’ exakt ist.

Warum füllen Mathematiker grundsätzlich alles mit reellen Zahlen?
Weil sie als hochfunktionale Autisten Ordnung ins Chaos bringen müssen.

Warum musste Penrose Gehirn-Tubes erfinden, um Bewusstsein quantentheoretisch zu erklären?
Weil im 4D-Matheraum kein Platz für Physik-Tubes ist, die jeweils eine komplexe Gehirnstruktur mit einem kosmischen Quantencomputer verbindet, der (fast) jedem Tube einen mikroskopischen Quantencomputer (Bewusstsein) zur Verfügung stellt.

Können Tubes eine Singularität verursachen?
Jain.
Nein, weil ein Tube in einem mikroskopischen Quantencomputer eines kosmischen Quantencomputers eingekapselt ist, und die Menschheit nur Milliarden Tubes benötigt.
Ja, wenn Viren Tubes haben, kommt es wegen einer Billiarden-Schranke zur Überlastung.

Warum finden wir keine anderen Zivilisationen in der Milchstraße?
Weil deren Viren zu groß wurden und Tubes bildeten.
Übrigens, der Corona-Virus ist wie der Herpes-Virus recht groß.

Vielen Dank!
#14 Christian
Stralsund
7. Oktober 2020

Der Apostroph hinter Penroses Namen tut echt weh.
#15 Dirk Freyling
Erde
7. Oktober 2020

Thilo,
es freut mich, daß Du mit Deinen eigenen (wenigen) Worten* auf die Kommentarleser-Frage: „Folgt die Existenz Schwarzer Löcher nicht schon aus der Schwarzschild-Lösung?“ wie folgt geantwortet hast.
*„Ja, aber das ist ja nur eine spezielle Lösung. (und es gibt keinen wirklichen Grund anzunehmen, dass diese spezielle Lösung die “richtige” ist, die unser Universum beschreibt) Das Singularitätentheorem gilt für alle Lösungen, solange sie die Bedingungen erfüllen. Man weiß ja bisher nicht, welche der vielen mathematischen Lösungen die physikalisch richtige ist.“

Ich habe diesen mathematisch formalen Sachverhalt ausführlicher formuliert** und schon vor einiger Zeit – hier und da – veröffentlicht… siehe exemplarisch mein Kommentar vom 26.01.2016 zu »Schwarze Löcher in Größe M« (https://www.spektrum.de/news/schwarze-loecher-in-groesse-m/1395720) Der übrigens von der Spektrum-Redaktion u.a. mit „Sehr geehrter Herr Freyling, vielen Dank für den ausführlichen und wichtigen Beitrag.“… erwidert wurde.

**»Die kovarianzverletzte Basis«
Zur Beliebigkeits-Problematik der freien Parameter des Standardmodells der Kosmologie (Lambda-CDM-Modell) gesellt sich die unvermeidbare „axiomatische Verletzung“ des Kovarianzprinzips. Salopp “formulierter” Hintergrund: Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) wurde u.a. aus der Forderung geboren, zur Beschreibung der Naturgesetze beliebige Koordinatensysteme verwenden zu können. Entsprechend dem Kovarianzprinzip sollte die Form der Naturgesetze nicht entscheidend von der Wahl des speziellen Koordinatensystems abhängen. Diese Forderung ist ursächlich mathematisch und führt zu einer Vielfalt von möglichen Koordinatensystemen [Metriken].
Gemäß ART-Postulat trägt nicht nur Masse, sondern auch jede Form von Energie zur Krümmung der postulierten Raumzeit bei. Dies gilt einschließlich der mit der Gravitation selber verbundenen Energie. Daher sind die “einsteinschen” Feldgleichungen nichtlinear.

Bedeutet u.a.: Die Gleichungssysteme (Einstein, Friedmann) der Allgemeinen Relativitätstheorie, die den Aussagen des Standardmodells der Kosmologie zu Grunde liegen, liefern keine analytischen Lösungen.

Erst Idealisierungen und Näherungen führen begrenzt zu rechenbaren Lösungen. Die unvermeidbaren (“kovarianten”) Widersprüche kommen mit den offensichtlich unzulässigen Idealisierungen und Näherungen des Systems von nichtlinearen, verketteten Differentialgleichungen. Mathematisch kann das Kovarianzprinzip nicht „verletzt“ werden, da es ja axiomatisch begründet ist. Nur diese axiomatische Voraussetzung „entschwindet mit der Verstümmelung“ (Idealisierung und Näherung) der eigentlichen Gleichungen. Mit anderen Worten: Die mathematisch korrekten Gleichungen besitzen keine analytischen Lösungen. Die reduzierten Gleichungen (Näherungen, Idealisierung) besitzen zwar Lösungen, diese sind jedoch nicht kovariant. Somit besitzt keine Lösung eine realphysikalisch begründete Bedeutung. Diese Art des Mathematikgebrauches ist willkürlich, da je nach „Geschmack“ der (selbst)gewählten Metrik andere Ergebnisse erhalten werden.

Zur formalen Beliebigkeit kommt noch hinzu, daß bei allen kosmologischen „Beobachtungsstudien“ es sich nicht um kontrollierbare Laborexperimente handelt. Des Weiteren, die menschliche Beobachtungs-Zeitspanne ist verglichen mit den Zeitspannen, in denen sich kosmische Bewegungen abspielten und abspielen, extrem klein. Alle derzeitigen vermeintlich empirischen Messungen sind stark (Urknall-)theoriebeladen. Postulierte Zeitspannen, Entfernungen und Energiedichten sind subjektiv-theorieabhängig. Mit den Angaben aus der menschlichen Beobachtungsdauer Annahmen zu begründen, ist „weit hergeholt“ um es mal salopp zu formulieren.

Ein Experiment braucht zu seiner Konzeption eine konkrete Fragestellung. Ist die Fragestellung das Ergebnis eines mathematischen Formalismus so ist das Versuchsergebnis entsprechend theoriebeladen. Wenn dann noch, wie im Rahmen der Standardmodelle üblich, die messbaren Ergebnisse vorselektiert und nur indirekt mit den postulierten Theorieobjekten „verbunden“ sind, ist der Interpretations-Beliebigkeit nichts mehr entgegenzusetzen.

Formalisierbarer Glaube, ob in Gestalt der ART oder Alternativen (wie z.B. MOND), ist hauptsächlich Mathematik.
#16 Karl Mistelberger
mistelberger.net
7. Oktober 2020

Wer keine Beobachtung macht kann schwurbeln ohne Ende. Dazu braucht man auch keine Theorie.

It is a great pleasure to report that after the first season of observing with GRAVITY, about two years after Charlie’s [Townes] passing, we have managed to realize his dream of imaging SgrA* will milli-arcsecond resolution. With a sensitivity more than a hundred times better than previous infrared interferometers, we are now on our way to test General Relativity for the first time around a million solar mass, black hole, as one of the orbiting stars is getting read to reach its peri-bothron of 17 light hours in summer of 2018.

And it has in addition the capability to do astronometry, very accurate astronometry, so it measures movement which is the equivalent of an astronaut on the moon moving a flashlight by about 10 cm.

Die Vorlesung von Reinhard Genzel:

https://avplayer.lib.berkeley.edu/Video-Public-Physics/physcolloquia-bk0017k4k0p
#17 Fluffy
7. Oktober 2020

Für die von uns, die des Englischen nicht ganz so flüssig sind

Es ist uns eine große Freude, berichten zu können, dass es uns nach der ersten Beobachtungssaison mit GRAVITY, etwa zwei Jahre nach Charlies [Townes] Tod, gelungen ist, seinen Traum zu verwirklichen, SgrA* mit einer Auflösung von Millibogensekunden abzubilden. Mit einer mehr als hundertmal besseren Empfindlichkeit als frühere Infrarot-Interferometer sind wir nun auf dem Weg, die Allgemeine Relativitätstheorie zum ersten Mal rund eine Million Sonnenmassen, Schwarze Löcher, zu testen, während einer der umkreisenden Sterne so abgelesen wird, dass er im Sommer 2018 seinen Peri-Bothron von 17 Lichtstunden erreicht.

Und er hat darüber hinaus die Fähigkeit, Astronomie zu betreiben, sehr genaue Astronomie, so dass er Bewegungen misst, die dem Äquivalent eines Astronauten auf dem Mond entsprechen, der eine Taschenlampe um etwa 10 cm bewegt.
#18 Frank Wappler
7. Oktober 2020

Thilo schrieb (6. Oktober 2020):
> […] Eine Raumzeit heißt nullgeodätisch unvollständig, wenn es Nullgeodäten gibt, die sich nicht bis zur [Koordinaten-]Zeit t = ∞ fortsetzen lassen.

Sicherlich lässt sich (auch) Koordinaten-frei ausdrücken, ob eine gegebene Ereignismenge $\mathcal E$ Nullgeodäten enthält und inwiefern jeweils eine bestimmte davon fortsetzbar wäre;
vermittels gegebener Werte von Lorentzschen Distanzen $\lambda : \mathcal E \times mathcal E \rightarrow \mathbb R_{(0 ... \infty)}$ insbesondere

$\mathcal G_0 \subset \mathcal E |$

• $\forall \, p, q \in \mathcal G_0 : \lambda[ \, p, q \, ] = \lambda[ \, q, p \, ] = 0,$

• $\forall \, p, q \in \mathcal G_0 :$
$\qquad \text{ exklusiv-entweder } (\exists \, j \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, q \, ] > \lambda[ \, j, p \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, k \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, k \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, k, p \, ] > 0)) : \lambda[ \, k, q \, ] > \lambda[ \, k, p \, ])),$
$\qquad \text{ exklusiv-oder } (\exists \, u \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, u, p \, ] > \lambda[ \, u, q \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, v \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, u, v \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, v, q \, ] > 0)) : \lambda[ \, v, p \, ] > \lambda[ \, v, q \, ])),$

• $\forall \varepsilon \in \mathcal E : (\exists \, \, p, q \in \mathcal G_0 \, | \,$
$\qquad \qquad (\lambda[ \, \varepsilon, p \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, p, \varepsilon \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, \varepsilon, q \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, q, \varepsilon \, ] = 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\exists \, j \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, q \, ] > \lambda[ \, j, \varepsilon \, ] > \lambda[ \, j, p \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, k \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, k \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, k, p \, ] > 0)) : \lambda[ \, k, q \, ] > \lambda[ \, k, \varepsilon \, ] > \lambda[ \, k, p \, ])))$
$\qquad \qquad \implies \varepsilon \in \mathcal G_0$ ;

aber

• $\exists \, s \in \mathcal G_0 \, | \, \forall \, p \in \mathcal G_0 : \forall \, j \in \mathcal E : \lambda[ \, j, p \, ] > 0 \implies \lambda[ \, j, s \, ] \ge \lambda[ \, j, p \, ].$

Was spräche dagegen, einem solchen Ereignis $s$ den t-Koordinatenwert &#8734 zuzuordnen ??

p.s.
> […] Tangentialvektoren der Geodäten […]

Ein Tangentialvektor (zu einer bestimmten Kurve, in einem bestimmten Punkt bzw. Ereignis) ist offenbar die Bezeichnung für eine Äquivalenzklasse von Kurven (einschl. der bestimmten Kurve unter Betrachtung), die sich im betrachteten Punkt alle (gegenseitig) berühren (d.h. nicht schneiden).

Gibt es eine Koordinaten-freie, insbesondere auf gegebene Werte Lorentzscher Distanzen hinauslaufende Definition dafür zu unterscheiden, of sich zwei (jeweils als bestimmte Ereignismenge) gegebene Raumzeit-Kurven, die genau ein Ereignis gemeinsam haben, in diesem Ereignis “berühren” oder “schneiden” ?

p.p.s.
> […] wobei g den metrischen Tensor (d.h. die semi-Riemannsche Metrik), Ric den Ricci-Tensor (das ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors) und Scal die Skalarkrümmungkosmologische Konstante und auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuum Null ist.

(Diese zitierte Formulierung kann durch Einfügen von geeignetem Text vermutlich noch verständlicher gemacht werden.)
#19 Frank Wappler
7. Oktober 2020

Thilo schrieb (6. Oktober 2020):
> […] Eine Raumzeit heißt nullgeodätisch unvollständig, wenn es Nullgeodäten gibt, die sich nicht bis zur [Koordinaten-]Zeit t = ∞ fortsetzen lassen.

Sicherlich lässt sich (auch) Koordinaten-frei ausdrücken, ob eine gegebene Ereignismenge $\mathcal E$ Nullgeodäten enthält und inwiefern jeweils eine bestimmte davon fortsetzbar wäre;
vermittels gegebener Werte von Lorentzschen Distanzen $\lambda : \mathcal E \times \mathcal E \rightarrow \mathbb R_{(0 ... \infty)}$ insbesondere

$\mathcal G_0 \subset \mathcal E |$

• $\forall \, p, q \in \mathcal G_0 : \lambda[ \, p, q \, ] = \lambda[ \, q, p \, ] = 0,$

• $\forall \, p, q \in \mathcal G_0 :$
$\qquad \text{ exklusiv-entweder } (\exists \, j \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, q \, ] > \lambda[ \, j, p \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, k \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, k \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, k, p \, ] > 0)) : \lambda[ \, k, q \, ] > \lambda[ \, k, p \, ])),$
$\qquad \text{ exklusiv-oder } (\exists \, u \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, u, p \, ] > \lambda[ \, u, q \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, v \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, u, v \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, v, q \, ] > 0)) : \lambda[ \, v, p \, ] > \lambda[ \, v, q \, ])),$

• $\forall \varepsilon \in \mathcal E : (\exists \, \, p, q \in \mathcal G_0 \, | \,$
$\qquad \qquad (\lambda[ \, \varepsilon, p \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, p, \varepsilon \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, \varepsilon, q \, ] = 0) \text{ und } (\lambda[ \, q, \varepsilon \, ] = 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\exists \, j \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, q \, ] > \lambda[ \, j, \varepsilon \, ] > \lambda[ \, j, p \, ] > 0) \text{ und }$
$\qquad \qquad (\forall \, k \in \mathcal E \, | \, ((\lambda[ \, j, k \, ] > 0) \text{ und } (\lambda[ \, k, p \, ] > 0)) : \lambda[ \, k, q \, ] > \lambda[ \, k, \varepsilon \, ] > \lambda[ \, k, p \, ])))$
$\qquad \qquad \implies \varepsilon \in \mathcal G_0$ ;

aber

• $\exists \, s \in \mathcal G_0 \, | \, \forall \, p \in \mathcal G_0 : \forall \, j \in \mathcal E : \lambda[ \, j, p \, ] > 0 \implies \lambda[ \, j, s \, ] \ge \lambda[ \, j, p \, ].$

Was spräche dagegen, einem solchen Ereignis $s$ den t-Koordinatenwert ∞ zuzuordnen ??

p.s.
> […] Tangentialvektoren der Geodäten […]

Ein Tangentialvektor (zu einer bestimmten Kurve, in einem bestimmten Punkt bzw. Ereignis) ist offenbar die Bezeichnung für eine Äquivalenzklasse von Kurven (einschl. der bestimmten Kurve unter Betrachtung), die sich im betrachteten Punkt alle (gegenseitig) berühren (d.h. nicht schneiden).

Gibt es eine Koordinaten-freie, insbesondere auf gegebene Werte Lorentzscher Distanzen hinauslaufende Definition dafür zu unterscheiden, of sich zwei (jeweils als bestimmte Ereignismenge) gegebene Raumzeit-Kurven, die genau ein Ereignis gemeinsam haben, in diesem Ereignis “berühren” oder “schneiden” ?

p.p.s.
> […] wobei g den metrischen Tensor (d.h. die semi-Riemannsche Metrik), Ric den Ricci-Tensor (das ist die Spur des Riemannschen Krümmungstensors) und Scal die Skalarkrümmungkosmologische Konstante und auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor T, der im Vakuum Null ist.

(Diese zitierte Formulierung kann durch Einfügen von geeignetem Text vermutlich noch verständlicher gemacht werden.)
#20 Thilo
7. Oktober 2020

Danke, der Text stand eigentlich da, wegen einer falsch gesetzten Klammer wurde er nicht angezeigt.
#21 Karl Mistelberger
mistelberger.net
8. Oktober 2020

Sir Roger in Klosterneuburg:

Im Moment sei er ein wenig frustriert, gesteht Roger Penrose nach rund einer Stunde Gespräch, die bis dahin weniger ein Interview als eine beeindruckende Nachhilfestunde unter anderem über das Wesen und den Zweck des Universums waren. Der Grund für die Frustration des weltbekannten Forschers, der außer dem Nobelpreis so ziemlich alle Ehrungen erhalten hat, mit denen man als Physiker ausgezeichnet werden kann: Seine eigene Theorie des zyklischen Universums werde nicht wirklich ernst genommen.

https://www.derstandard.at/story/1353208219495/sir-rogers-unorthodoxe-theorie-des-universums

https://www.univie.ac.at/vienna.seminar/2012/talks/11_Penrose.pdf
#22 Dirk Freyling
Erde
8. Oktober 2020

Plakativ formuliert: Sir Roger Penrose wurde mit der Verleihung des Nobelpreises instrumentalisiert. Jeder der sich etwas mit dem Wesen seiner Arbeit und seiner fundierten Kritik an den Standardmodellen und deren formalen Grundlagen sowie vermeintlichen Alternativen beschäftigt, weiß das. Der bekannteste Satz von ihm dazu: String theory is a “fashion,” quantum mechanics “faith,” and cosmic inflation a “fantasy.”

Es ist letztendlich ein taktischer Schachzug Penrose aktuell neben den beiden Systemapologeten Ghez und Genzel „etwas“ Nobelpreis zu geben, da so suggeriert wird, er sei Bestandteil der ΛCDM-Modell-Glaubens-Kirche und deren „Theorieobjekt-GötterErscheinungen“, hier in Gestalt von Schwarzen Löchern. Was nicht bedeuten soll, daß Penrose nicht (s)einen eigenen, mathematisch begründeten, Theorieglauben besäße. Stichworte:»erebons«, siehe zur Orientierung exemplarisch https://www.nasa.gov/ames/ocs/seminars/sir-roger-penrose

Am Rande bemerkt: Das politisch korrekt 2020 quotenbewusst auch eine Frau »für was genau?« einen (Teil-)Physik-Nobelpreis bekommt, ist gleichfalls wenig verwunderlich.
Es stellt sich wiederholt die Frage, gibt es ausser formalisierten Fantasien und daraus postulierten Theorieobjekten respektive vermeintlichen Entdeckungen und vermeintlichen Nachweisen, nichts Wirkliches in der Physik, was mit einem Nobelpreis zu würdigen ist?
#23 Thilo
8. Oktober 2020

Penrose hatte einen mathematischen Satz bewiesen. Dass der auch physikalisch korrekt ist, zeigten erst die Beobachtungen der Astronomen. Die haben ihren Anteil des Nobelpreises allerdings nicht für Theorien bekommen, sondern für astronomische Beobachtungen, die sie beide übrigens nicht als Einzelpersonen, sondern als Chefs ihrer jeweiligen Arbeitsgruppen getätigt haben.
#24 Frank Wappler
9. Oktober 2020

Thilo schrieb (#23, 8. Oktober 2020):
> Penrose hatte einen mathematischen Satz bewiesen. […] sein Singularitätentheorem

Sofern sich dieser mathmatische Satz Koordinaten-frei formulieren lässt (Anregungen dazu im obigen Kommentar #19), könnte man ihn allerdings (auch) als Theorem einer physikalisch-geometrischen Theorie auffassen.

> Dass der auch physikalisch korrekt ist, zeigten erst die Beobachtungen der Astronomen.

Haben die betreffenden Astronomen die Behauptung des o.g. Satzes direkt beobachtet, oder (zumindest) gemessen, also durch Auswertung ihrer gegebenen Beobachtungsdaten geschlussfolgert, nämlich dass “die Raumzeit kausalgeodätisch unvollständig ist” ??

Haben die betreffenden Astronomen alle, oder auch nur einige, Voraussetzungen des o.g. Satzes direkt beobachtet, oder (zumindest) gemessen, also durch Auswertung ihrer gegebenen Beobachtungsdaten geschlussfolgert, nämlich (entsprechend der Liste im obigen ScienceBlog-Beitrag)
– dass “die starke Energiebedingung entlang aller kausaler Kurven” gälte, oder
– dass “jede kausale Kurve einen Punkt mit nichtverschwindender effektiver Krümmung” enthielte, oder
– dass “die Raumzeit chronologisch” sei, oder
– dass “die Raumzeit eine kompakte achronale Untermannigfaltigkeit ohne Rand” enthielte bzw. dass eine dazu äquivalente Bedingung erfüllt sei
??
#25 Thilo
9. Oktober 2020

Sicher ist Penroses Satz physikalisch interpretierbar: er besagt, dass es Punkte gibt, aus denen das Licht nicht mehr hinauskommt. Soweit ich es verstehe ist das auch das, was die Astronomen beobachtet haben. Wie genau, also was sie konkret gemessen haben, dazu kann ich nichts sagen.
#26 Karl Mistelberger
mistelberger.net
9. Oktober 2020

> Wie genau, also was sie konkret gemessen haben, dazu kann ich nichts sagen.

Eine recht leserliche Darstellung:

Sgr A* ist das nächstgelegene supermassereiche Schwarze Loch mit einem „Gewicht“ von ca. vier Millionen Sonnenmassen. Seine scheinbare Ausdehnung am Himmel beträgt weniger als ein 100 Millionstel Winkelgrad; das entspricht der Größe eines Tennisballs auf dem Mond. Um derart kleine Strukturen zu erfassen, ist die Beobachtungstechnik der Interferometrie mit langen Basislinien (VLBI) erforderlich. Die erreichte Winkelauflösung wird nochmals durch die Erhöhung der Frequenz verbessert. Im Moment liegt die höchste Frequenz, bei der VLBI-Beobachtungen überhaupt durchgeführt werden können, bei 230 GHz. „Die allerersten VLBI-Beobachtungen von Sgr A* bei 86 GHz wurden bereits vor 26 Jahren von einem Team unter der Leitung von Thomas Krichbaum vom MPIfR mit nur einer Handvoll von Teleskopen durchgeführt. Im Lauf der Jahre haben sich sowohl die Datenqualität als auch die bildliche Darstellung durch eine immer größere Zahl von beteiligten Teleskopen stetig verbessert“, sagt J. Anton Zensus, Direktor am MPIfR und Leiter der Radioastronomie/VLBI-Forschungsabteilung am Institut.

https://www.mpifr-bonn.mpg.de/pressemeldungen/2019/1
#27 Frank Wappler
9. Oktober 2020

Thilo schrieb (#25, 9. Oktober 2020):
> […] dass es Punkte gibt, aus denen das Licht nicht mehr hinauskommt. Soweit ich es verstehe ist das auch das, was die Astronomen beobachtet haben.

Ein Punkt (bzw. ein Ereignis), aus dem keinerlei Signal kommt, ließe sich ausschließlich dadurch beobachten, dass der betreffende Beobachter diesen Punkt traf (bzw. an diesem Ereignis teilnahm). Ich wüsste allerdings von keinen Astronomen, die behauptet hätten, einen derartigen Punkt getroffen bzw. an einem solchen Ereignis teilgenommen zu haben. Oder die sich Derartiges auch nur vorgenommen hätten.

> […] was sie konkret gemessen haben, dazu kann ich nichts sagen.

Das finde ich eine passende Ergänzung zur schon beanstandeten obigen Behauptung (#23): “Dass der [Singularitätensatz] auch physikalisch korrekt ist, zeigten erst die Beobachtungen der Astronomen.”

> Sicher ist Penroses Satz physikalisch interpretierbar: er besagt, dass es Punkte gibt, aus denen das Licht nicht mehr hinauskommt.

Die Interpretation von “kausalgeodätischer Unvollständigkeit” (d.h., wenn ich recht verstehe, “mindestens eine Kausal-Geodäte, die dort hinführte, endet dort und geht nicht weiter”) als “dort kommt gar kein Licht heraus” (“und auch sonst überhaupt nix durch und wieder heraus”) erscheint auf den ersten Blick als eine Überinterpretation.

Im Übrigen ist Penroses Satz sicherlich physikalisch interpretierbar; und zwar insbesondere so, dass die Definitionen aller darin auftretenden Begriffe ausschließlich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen (wie Einstein für Begriffe der RT forderte). Aber um dahin zu gelangen, sind physikalische Interpretationen der (im obigen ScienceBlog-Beitrag auftretenden) mathematischen Begriffe “Tangentialvektor” und “Länge eines Tangentialvektors” und “Geodäte” bestimmt nützlich, wenn nicht sogar erforderlich (vgl. Kommentar #19).
#28 Frank Wappler
9. Oktober 2020

Karl Mistelberger schrieb (#26, 9. Oktober 2020):
> [… »was sie konkret gemessen haben« …]
> Sgr A* […] von ca. vier Millionen Sonnenmassen. Seine scheinbare Ausdehnung am Himmel beträgt weniger als ein 100 Millionstel Winkelgrad; das entspricht der Größe eines Tennisballs auf dem Mond. Um derart kleine Strukturen zu erfassen, ist die Beobachtungstechnik der Interferometrie mit langen Basislinien (VLBI) erforderlich. […]

Das Vorliegen einer bestimmten Masse innerhalb einer bestimmten endlichen Region ist womöglich an sich nicht hinreichend, um daraus die “kausalgeodätische Unvollständigkeit” dieser Region zu nachzuweisen. (Es mögen sich allerdings Modelle denken lassen, die diese Annahmen zusammenfassen.)
#29 Peter
10. Oktober 2020

Nach dem Lesen habe ich mir einmal mehr gewünscht Feynman würde auferstehen und mir das Mal verständlich erklären…
- #30 Thilo
  10. Oktober 2020
  
  Es war nun expressis verbis nicht das Ziel dieses Artikels, die Physik der schwarzen Löcher zu erklären, sondern eben die Mathematik von Penrose seinem Theorem.
#31 Hans
10. Oktober 2020

Welches Mal sollte er Dir denn erklären? Hier ging es um kein Mal.
#32 Jens
10. Oktober 2020

@Frank Wappler:
Wow, du hast also immer noch nicht verstanden, dass Einstein an dieser Stelle nichts fordert, sondern dass er eine Tatsache feststellt (bzw. behauptet, dass es sich um eine Tatsache handelt).
#33 Karl Mistelberger
mistelberger.net
10. Oktober 2020

> #29 Peter, 10. Oktober 2020
> Nach dem Lesen habe ich mir einmal mehr gewünscht Feynman würde auferstehen und mir das Mal verständlich erklären…

Lassen wir einmal die Hawking-Strahlung außer Acht bildet sich ein Ereignishorizont aus, hinter dem nichts zu erkennen ist, weil das Licht durch die Schwerkraft gefangen gehalten wird.

Nach außen dringt nur die Schwerkraft der Masse des Schwarzen Lochs. Ihre enorme Stärke deformiert den Raum und bremst die Zeit wie es Einsteins Gleichungen vorhersagen.

Einsteins allgemeine Relativitätstheorie schlägt sich besser als er selbst jemals gedacht hat.

https://science.orf.at/v2/stories/2881589/
#34 Frank Wappler
12. Oktober 2020

Jens schrieb (#32, 10. Oktober 2020):
> […] dass Einstein an dieser Stelle nichts fordert, sondern dass er eine Tatsache feststellt (bzw. behauptet, dass es sich um eine Tatsache handelt).

Eine Theorie, die sich mit der Gewinnung wirklicher Tatsachen (bzw. in Einsteins Worten: »Konstatierungen«) beschäftigt, beinhaltet nun mal Axiome, die sich auf Wahrnehmungen beziehen. Auch falls diese wiederum als “Tatsache” bzw. als “selbstverständlich” bzw. als “nachvollziehbar” erscheinen, müssen sie doch jedenfalls als Bestandteil der betreffenden Theorie ausgewählt und dokumentiert und festgehalten werden.

Im Übrigen hat auch unser ScienceBlog-Betreuer per Kommentar #30 offenbar sein Verständnis bekräftigt, dass solche Empirie-begründeten und -bezogenen Theorien von mathematischen Theorien zu unterscheiden sind (in denen stattdessen z.B. gefordert wäre, für eine gegebenen Ereignismenge eine bestimmte Mannigfaltigkeits-Topologie aus dem Hut zu zaubern, sich einen dazu homöomorphen Atlas samt entsprechendem Tangenten-Raum aus den Fingern zu saugen, und schließlich “ein darauf definiertes” metrisches Tensorfeld $g_{\mu\nu}$ und/oder Einstein-Tensorfeld $G_{\mu\nu}$ aus dem Ärmel zu ziehen).
#35 Thilo
12. Oktober 2020

Sicher handelt es sich um eine mathematische Theorie; aber doch um eine, deren Vorhersagen mit Messungen übereinstimmen. Es sind nicht die Axiome wie das metrische Tensorfeld, die empirisch begründet sind, sondern die Messungen. (Und diese Stimmen aber mit den von der Theorie vorhergesagten Ergebnissen überein.)
#36 Jens
12. Oktober 2020

@Frank Wappler:
Ist das wirklich so schwer zu verstehen? Einstein fordert an der Stelle nichts. Wenn du etwas fordern willst, kannst du das natürlich gerne tun. Aber so zu tun als käme diese Forderung von Einstein und nicht von dir, ist wirklich albern.
#37 Frank Wappler
13. Oktober 2020

Thilo schrieb (#35, 12. Oktober 2020):
> Sicher handelt es sich um eine mathematische Theorie;

Sicher ist die (rein) mathematische Theorie, die insbesondere die (“Rechen”)-Schritte

– denkt Dir (irgend-)eine topologische Mannigfaltigkeit aus,
– denkt Dir einen dazu homöomorphen Atlas reeller Tupel aus (der dadurch eine bestimmte Äquivalenzklasse von Tangentialräumen bzw. von “differenzierbarer Struktur” induziert),
– denkt Dir ein metrisches Tensorfeld “darauf” aus (oder meinetwegen auch allgemeiner ein Finsler-Tensorfeld),
– formuliere und beweise alle daraus folgenden Theoreme (z.B. hinsichtlich der Verteilung von Werten von Krümmungs-Skalaren)

umfasst,
von der Empirie-bezogenen (physikalisch-geometrischen) Theorie zu unterscheiden, deren wesentliches Axiom lautet:

– definiere Messgrößen, deren Definition jeweils ausschließlich auf Koinzidenz-Bestimmungen (als unmittelbar gegebene Beobachtungsdaten) hinausläuft.

> aber doch um eine [Theorie], deren Vorhersagen mit Messungen übereinstimmen.

Bestimmte einzelne Messwerte, jeweils aus dem Wertebereich einer bestimmten Messgröße, werden Versuch für Versuch von Modellen zusammengefasst und ggf. vorhergesagt; insbesondere von den jeweiligen Standard-Modellen der betreffenden Messgrößen.

Empirie-bezogene Theorien dagegen definieren (lediglich) die bestimmten Messgrößen an sich, einschl. deren jeweiligen Wertebereich; also jeweils die konkrete nachvollziehbare Bewertungsoperation, durch deren Anwendung auf konkret gegebene hinreichende Beobachtungdaten jeweils ein konkreter Messwert zu ermitteln wäre.
Damit ist aber keinerlei Vorhersage verbunden, konkret welche Beobachtungdaten Versuch für Versuch vorlägen und konkret welcher Messwert (aus dem Wertebereich der Messgröße) folglich ermittelt würde (falls überhaupt einer).

Und die oben beschriebene (rein) mathematische Theorie hat an sich mit Messgrößen oder deren Messwerten überhaupt nichts zu tun.
Allerdings ließe sie sich ja vielleicht mit der einen oder anderen Empirie-begründenden Theorie unterlegen (insbesondere z.B. mit jeweils einer Definition von “Krümmungs-Skalaren” als Messgrößen, deren Bewertungsoperationen alle ausschließlich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen) …
#38 Thilo
13. Oktober 2020

Die mathematische Theorie macht Vorhersagen, die dann von Messungen bestätigt oder widerlegt werden können.
#39 Frank Wappler
13. Oktober 2020

Thilo schrieb (#38, 13. Oktober 2020):
> Die mathematische Theorie macht Vorhersagen, die dann von Messungen bestätigt oder widerlegt werden können.

Vorhersagen (von Messwerten), die durch Messung (also die Ermittlung von Messwerten jeweils durch Anwendung eines Bewertungsoperators auf gegebene Beobachtungsdaten) bestätigt oder widerlegt werden können, werden ggf. von Modellen gemacht.
Eine mathematische Theorie dagegen macht mathematische Sätze (Theoreme).
#40 Thilo
13. Oktober 2020

Elektrische Felder sind auch nichts anderes als eine mathematische Theorie, mit der man aber nachprüfbar richtige Vorhersagen bekommt.
#41 Frank Wappler
13. Oktober 2020

Thilo (#40, 13. Oktober 2020):
> Elektrische Felder sind auch nichts anderes als eine mathematische Theorie, mit der man aber nachprüfbar richtige Vorhersagen bekommt.

Welche “mathematische Theorie der elektrischen Felder” macht denn konkrete Vorhersagen zur Verteilung (oder auch nur zur bloßen Vorhandensein, oder Nicht-Vorhandensein) von “elektrischen Feldern” und/oder von Trägern “elektrischer Ladung”, Versuch für Versuch, Region für Region ??

Die mathematischen Sätze (“Bewegungsgleichungen”)
$i \, \gamma^{\mu} \, \partial_{\mu} \psi - m \, \psi = q \, \gamma^{\mu} \, (A_{\mu} + B_{\mu})$
und
$\partial_{\nu} F^{\nu\mu} = q \, \overline \psi \, \gamma^{\mu} \, \psi$
der Abelschen Eichtheorie mit Symmetrie $U(1)$ enthalten z.B. offenbar keine Vorhersage, welcher Wert “elektrischer Feldstärke ( $\partial_{0}(A_{\mu} + B_{\mu}) - \partial_{\mu}(A_{0} + B_{0})$ )” im nächsten Versuch womöglich zu erwarten wäre.

(Die (Empirie-basierte und -bezogene) Definition, wie “elektrische Feldstärke” zu messen ist, enthält erst recht keine Vorhersage, welcher Wert “elektrischer Feldstärke” im nächsten Versuch zu erwarten wäre. Derartige Vorhersagen werden stattdessen von Modellen gemacht, die sich (u.a.) mit Verteilungen elektrischer Ladungen und Felder befassen.)
#42 Thilo
13. Oktober 2020

Die Maxwell-Gleichungen machen Vorhersagen zur Verteilung elektrischer Felder.
#43 Frank Wappler
13. Oktober 2020

Thilo schrieb (#42, 13. Oktober 2020):
> Die Maxwell-Gleichungen machen Vorhersagen zur Verteilung elektrischer Felder.

Konkret welche Vorhersage zur Verteilung elektrischer Felder in Deinem Labor, in Deinem nächsten Versuch machen denn die Maxwell-Gleichungen (Deiner Auffassung nach) ?? —

– “im Wesentlichen isotrop”, etwa wie entsprechend dieses Modells (Deines Labors, in Deinem nächsten Versuch); oder

– “im Wesentlichen anisotrop”, etwa wie entsprechend dieses Modells (Deines Labors, in Deinem nächsten Versuch)

?
#44 Quanteder
14. Oktober 2020

Frank Wappler . . . .. Emotionen schaden immer einer sachlichen Analyse.
Worauf bezieht sich ihr emotionaler Ausbruch? Sie haben den Grund in #43 dick hervorgehoben: Meine – Deine . . . ..
In einer Welt der Geisteswissenschaft Besitzansprüche anzumelden, ist im Bereich der Wissenschaft . . . .. na ja, mir fehlen die richtigen Worte . . . .. unverfroren . . . ..
Die Geisteswissenschaft ausserhalb des Bereiches von Wissenschaft betrachtet ist hier im Blog OT, nicht aber deren Einfluss auf Wissenschaft und WissenschaftlerInnen . . . ..
#45 Quanteder
14. Oktober 2020

Mir gefällt in #43 das Fragezeichen in der letzten Zeile.
Wenn sie eine Antwort haben möchten, dann müssen sie und ich einen Weg gemeinsam gehen.
Wir würden begleiten, was sich in der nächsten Zeit auch ohne unser beobachten ereignen würde.
Ich gebe ihnen ein Stichwort: Superdeterminismus . . . ..
#46 Frank Wappler
15. Oktober 2020

Quanteder schrieb (#44, 14. Oktober 2020):
> Frank Wappler […] Worauf bezieht sich ihr emotionaler Ausbruch? Sie haben den Grund in #43 dick hervorgehoben: Meine – Deine . . .

Die Hervorhebung durch Fett-Schreibung in meinem Kommentar #43 dient der Hervorhebung des Inhaltes, nämlich eines bestimmten Vorschlages zur Konkretisierung. Jegliche Interpretation dieses Stilmittels als “emotionaler Ausbruch” weise ich (eiskalt) zurück.

Im Übrigen tritt das Wort “meine” im Kommentar #43 gar nicht auf; weder groß- noch kleingeschrieben, noch womöglich in Varianten wir “mein” oder “meines”.
Wobei jedoch nicht ausgeschlossen ist, dass Thilo und/oder ich dieses Wort in Fortsetzung unserer Korrespondenz benutzen würden.

> […] Besitzansprüche anzumelden […]

Das Possessivpronomen “Dein” bzw. “Deinem” und “Deines” im Kommentar #43, insbesondere in der hervorgehobenen Formulierung (“in Deinem Labor, in Deinem nächsten Versuch”) versteht sich aus dem Kontext nicht im Sinne des Anmeldens von Besitzansprüchen, sondern im Sinne der Übernahme von Verantwortung (zur Ermittlung jeweils eines Messwertes) sowie ggf. der Absicht und der Gelegenheit, solche Verantwortung zu übernehmen.

Quanteder schrieb (#44, 14. Oktober 2020):
> Mir gefällt in #43 das Fragezeichen in der letzten Zeile. […]

Mir gefällt das verdoppelte Fragezeichen (in #43, und z.B. auch in #41) als Stil- und damit auch Kommunikationsmittel noch besser.
#47 Arnetta Nachtrieb
14. November 2020

…

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