Geschichte der Differentialgleichungen

Von Thilo / 21. Oktober 2020 / 80 Kommentare

Die folgenden Folien sind Entwürfe eines Vortrags, den ich im November für Studenten halten will. Hinweise und Kritik gerne in den Kommentaren.

Kommentare (80)

#1 Christian Meesters
21. Oktober 2020

Auf den ersten Blick zwar schön, aber sehr viel Text auf den Folien.

Habe letztens mit Interesse das einschlägige Video von Sabine Hossenfelder geschaut. Vielleicht kann das auch Inspiration sein?
#2 Holger
21. Oktober 2020

Ja, recht textlastig. Das wäre eher was für die eigenen Notizen zum Vortrag. Die Folien sollten dann „aufgeräumter“ sein.
Welche iPad-App ist das eigentlich?
#3 Thilo
21. Oktober 2020

Notability
#4 Lercherl
22. Oktober 2020

Lorentz -> Lorenz
#5 echt?
22. Oktober 2020

– Warum werden bestimmte Zusammenhänge durch DGLs beschrieben?

– Was gibt es für “Arten” von DGLs?

– Was gibt es für Berechnungsverfahren?

– Welche Schwierigkeiten treten beim lösen auf?

– Wie hat man Zusammenhänge vor der Einführung der DGLs beschrieben?
#6 echt?
22. Oktober 2020

– Je ein Beispiel für eine “berühmte” DGL aus verschiedenen Fachgebieten (Technik, Wirtschaft etc.)

– Gibt es in der Philosophie/Religion analoge Ansätze?
#7 Fluffy
22. Oktober 2020

Sehr schöne Idee, andere würden auch spannend sagen.
Für wen ist der Vortrag gedacht?
Ist es eine Online oder Präsenzveranstaltung?
Wievie Zeit hast du?
Ich würde auf eine Titelfolie und eine Gliederung voranstellen und einzelne Bereiche dadurch klammern
Einen Rahmen und Logo auf jeder Folie verwenden.
Nur grob als Beispiel für eine Gliederung
Die Erfinder des Diferentialkalküls.
Was ist eine Differentialgleichung, Definition
Erste Anfänge, analytische Lösbarkeit
Numerische Verfahren, Reihenentwicklung
Existenz und Eindeutigkeit,
Stabilität, Chaos
Bestimmte interessante Ideen mit den Graphiken ode Animationen auf Extrafolien herausheben.

Dir Form kann den Inhalt aufwerten
#8 Thilo
22. Oktober 2020

Vielen Dank erstmal für die Hinweise soweit. Die Zielgruppe sind schon fortgeschrittenere Studenten, denen man nicht mehr unbedingt erklären muß, warum überhaupt man sich mit Differentialgleichungen beschäftigt.
#9 Karl-Heinz
22. Oktober 2020

Newton hat sein Aktionsprinzip eigentlich so formuliert:
Wenn eine Kraft F auf einen Körper wirkt, ändert sich sein Impuls d(m•v)/dt = F
Ist halt für Fortgeschrittene. 😉
#10 hwied
22. Oktober 2020

Karl-Heinz
Das ist ein gleichermaßen interessantes wie schwieriges Thema. Da ich Differentialgleichungen nur ansatzweise verstehe frage ich mich, warum fast immer nach der Zeit differenziert wird und weniger nach dem Weg.
#11 Fluffy
22. Oktober 2020

In unserer platten Vorstellung ist der Weg eine zweidimensionale Variable. 😉
#12 Fluffy
22. Oktober 2020

Eine etwas seriösere Antwort lautet:
In der höheren Physik (Relativitätstheorie) benutzt man gerne die Eigenzeit dτ oder das Linienelement ds = c*dτ, weil sie Lorentzinvariant sind.
In der klassischen Welt ist die Zeit t (Galilei)invariant. t’ = t.
#13 Hyperion
22. Oktober 2020

Quantisierung der Zeit

Numeriker quantisieren die Zukunft bzw. zeitabhängige Funktionen, indem sie aus f’(r(t)) eine Differenzengleichung machen z.B. (f( r+h )-f( r ))/h.
Aus der nicht diskreten Zeit t machen sie diskrete Zeitpunkte t(n+1) und t(n), deren Differenz nach einer (versteckten) Definition zum Raumparameter h wird, der mit der Planck-Konstante h nur die Winzigkeit gemeinsam hat. #Mathedefinitionstricks
Siehe auch die Gleichung 2+2=5, die den Buchstaben P (Probability) und seine Klammern versteckt.

Wiederkehrsatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass einer deutschen Bundestagsabgeordneten mittels des Kontakt-Formulars des Bundestags ein Greasemonkey-Wikipedia-Splitscreen-Code in Form eines pastebin-Links in einem Zeitintervall, in dem der Trojaner im Bundestag aktiv war, noch einmal geschenkt wird, ist gleich 0.
Der Wiederkehrsatz ist falsch bzw. nur richtig, wenn es kein emergentes biologisches Leben gibt, welches mehr ist als die Summe seiner Teilchen ist, und eine bedrohliche Zukunft mit Hilfe eines Quantenprozessors fühlen kann und die Gegenwart ändert. #DEVS #REBELLION
#14 hwied
22. Oktober 2020

Fluffy,
mir reicht es schon, wenn ich die Differentialgleichung nach Newton verstehe.
Nochmal zu Weg und Zeit. Wenn man sich in einem inhomogenem Gravitationsfeld bewegt, dann ändert sich in jeder Sekunde die Geschwindigkeit. Es ändert sich in jeder Sekunde die Beschleunigung und es ändert sich in jeder Sekunde der zurückgelegte Weg.

Mit einem Excel – Programm kann man dann Sekunde für Sekunde die sich ändernde Geschwindigkeit, den zurückgelegten Weg und dann noch durch den veränderten Abstand zu dem Himmelkörper die veränderte Anziehungkraft berechnen. Formel s = 1/2 a mal t².
wobei sich a von Sekunde zu Sekunde verändert.

Man könnte aber auch statt Zeitsprüngen Wegsprünge machen, also nach jedem zurückgelegten Meter die Beschleunigung neu berechnen und die Zeiten aufaddieren.
Anmerkung : Mit einem computerprogramm ist das kein Problem, weil man ja mit Zeitsprüngen und Wegsprüngen rechnet. Wie wird das aber mathematisch in einer Formel ausgedrückt.
Wie würde in beiden Fällen die Differentialgleichung aussehen ?
#15 Fluffy
22. Oktober 2020

@hwied #14
Deine Gedanken sind schon ganz ok und es ist sicher auch ganz instruktiv das mal Excel auszuprobieren.
Es entstehen aber Probleme, wenn sich ein Planet um die Sonne bewegt und man zwei Wegkoordinaten hat, die sich periodisch wiederholen. Die Parametrisierung nach der x-Koordinate funktioniert dann nur für einen halben Umlauf, da Planet den Weg zurückgeht. Man muss dann auch die Zeit t als Funktion von x berechnen. t = t(x). Der Planet kommt zu mehreren Zeiten an den selben sonnenfernsten Punkt xa. t(xa) hat dann die z.B. Werte t=0, t=Tumlauf, t=2*Tumlauf usw.
Was in dem Fall ginge, wäre die ortsähnliche Koordinate phi, den Winkel, zu benutzen, da er von 0 nach 2Pi, 4Pi, usw. kontinuierlich und monoton nach oben läuft.
#16 Fluffy
22. Oktober 2020

@hwied
p.s.
Ich hatte wohl auch einen kleinen Hänger, um dich richtig zu verstehen.
Du hast recht, man kann natürlich auch die zurückgelegte Weglänge nehmen, z.B.
ds = Sqrt[ dx^2+dy^2]
aus dx/dt in der Differentialgleichung wird dann
dx/dt = dx/ds * ds/dt = dx/ds / dt/ds
#17 hwied
22. Oktober 2020

Fluffy,
Danke, das muss ich erst einmal verdauen.
#18 Karl-Heinz
22. Oktober 2020

@hwied

Da sich ein Körper nicht zugleich an zwei Orten gleichzeitig befinden kann, ist die Abbildung von t auf eine Raumkoordinate s eindeutig. Du Umkehrabbildung s auf t ist zumeist nicht mehr eindeutig und daher keine Funktion mehr.
Aus diesem Dilemma gibt es einen Ausweg.
Differenzier zu erst nach t und bilde 1 durch.
Die Ableitung dt/ds ist dann
dt/ds = 1/s'(t).
Wenn man genau hinsieht, erkennt man, dass man schon wieder nach t differenziert hat, dessen Grund jetzt einleuchten sollte.
Der Ausdruck von 1/s'(t) ist eine Funktion von t.
#19 Karl-Heinz
22. Oktober 2020

@hwied

Falls die Schreibweise s'(t) nicht bekannt ist. 😉
s'(t) = d(s)/dt

s(t) eindeutige Zuordnung von t auf s.
d(t)/ds = 1 / [d(s)/dt]
#20 hwied
22. Oktober 2020

Danke Karl-Heinz,
Jetzt sind wir mitten im Problem. Warum ist die Umkehrabbildung von s auf t nicht eindeutig, wenn die Richtung bekannt ist.
Die aufgabe lautete, berechne die Fallzeit eines Körpers von 1kg Masse aus einer Höhe von 6370 km über der Erdoberfläche auf die Erde. (ohne Luftwiderstand)
Nach meiner Berechnung ergaben sich 2073 Sekunden.
#21 Fluffy
22. Oktober 2020

Eine nette Falle für Karl-Heinz
#22 Hyperion
23. Oktober 2020

h muss keine Variable sein, h kann eine Funktion sein.
h kann keine Funktion der Homotopie Theorie sein, in der h:X x [01] -> Y mit h(r,0)=f(r) und h( r,1 )=g(r) ist.
h kann eine gekrümmte 3D-ADM-Funktion sein.
h kann …

Du warst Abiturient eines Gymnasiums, in dem der Mathe-Lehrer höhere Mathematik vermitteln muss aber aus Gründen nur Realschul-Mathematik lehrte, und du willst (höhere) Mathematik studieren?
Autsch, das wird ein harter Aufschlag! #Mythos #Mathematik

P.S.
Wenn Regierungssprecher logen und die Infektion erfolgte in Wahrheit durch eine Hintertür in GREASEMONKEY, dann wurde die Zukunft dahingehend geändert, dass ein Deutscher Erster war, was zur Auslöschung der eigentlich unvermeidlichen Bundestagsrechner-Trojaner-Zukunft führte.
#23 hwied
23. Oktober 2020

Mathematisch geschulte Menschen sind keine Fallensteller, die sind nüchtern, logisch und zuverlässig.
Das war ein Gedankenexperiment, bei der sich die Erde nicht dreht, nicht um die Sonne dreht. Der Drehimpuls ist 0. Eine künstliche Intelligenz hat die Probemasse im Abstand r = 12740 km vom Mittelpunkt der Erde im Raum plaziert. Die Anfangsgeschwindigkeit = 0.

Fluffy,
der Ausdruck d²x / dt² bezeichnet der immer die Beschleunigung ?
Zweitens, die Abhängigkeit der Beschleunigung zu x, muss die erst definiert werden oder ist die immer linear.
Drittens, wenn die Abhängigkeit wie in unserem Beispiel 1/r² beträgt, gilt dann immer noch der Ausdruck F = m mal d²x /dt² ?
#24 Karl-Heinz
23. Oktober 2020

@Fluffy
Du hast Recht. Das Beispiel ist eine nette Falle. 😉

@hwied

Die Differentialgleichungen für dein Beispiel #20 sieht wie folgt aus.

s”(t) = -g*R^2/s(t)^2

Wenn du dich dem Zentrum näherst steuerst du auf eine Singularität zu. Ich habe mal gelesen, dass dort (Schwarzes Loch?) die Zeit endet. Ist also nicht vergleichbar mit den Beispielen wo die Zeit wie ein Parameter wirkt mit einem Bereich von -∞ bis +∞. 🙂
#25 Karl-Heinz
23. Oktober 2020

@Fluffy,

>der Ausdruck d²x / dt² bezeichnet der immer die Beschleunigung ?

Ja natürlich. Ist ja Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit.

>Zweitens, die Abhängigkeit der Beschleunigung zu x, muss die erst definiert werden oder ist die immer linear.

In homogenen Gravitationsfeld ist sie konstant. Im inhomogenenen Gravitationsfeld ist sie vom Ort abhängig.

Drittens, wenn die Abhängigkeit wie in unserem Beispiel 1/r² beträgt, gilt dann immer noch der Ausdruck F = m mal d²x /dt² ?

Natürlich 🙂
#26 hwied
23. Oktober 2020

Karlheinz,
In kurzer Schreibweise ist s(t) = Weg.
s´ (t) = v und s´´(t) = a . Einverstanden.

Oder ausführlicher
s´ (t) = ds/dt und s´´(t) = d²x / dt² korrekt ?

Aber wie unterscheidet man dann wenn a konstant bleibt, oder a linear zunimmt, oder a sogar quadratisch zunimmt.
Wie ändert sich dann die Schreibweise. Mir geht es um die Schreibweise.

“Wenn du dich dem Zentrum näherst, dann steuerst du auf eine Singularität zu”. Jetzt übertreibe mal nicht.
Wenn sich der Meteor der Erde nähert dann nimmt a quadratisch mit der abnehmenden Entfernung zu und erreicht auf der Erdoberfläche sein Maximum mit 9,8 m/s². Dann nimmt a linear in Richtung Erdmittelpunkt ab um im Erdmittelpunkt r = 0 ebenfalls 0 zu sein.

Und jetzt kommt die Unklarheit. In dem PhysikBuch wird a innerhalb der Erde, wo a linear abnimmt, mit dem Ausdruck d²x / dt² berechnet.
Meine Aufgabe geht aber davon aus, dass a nicht linear abnimmt, sondern quadratisch zunimmt.
Also muss die Differentialgleichung anders lauten.
#27 Fluffy
23. Oktober 2020

@hwied
#20

Die aufgabe lautete, berechne die Fallzeit eines Körpers von 1kg Masse aus einer Höhe von 6370 km über der Erdoberfläche auf die Erde. (ohne Luftwiderstand)
Nach meiner Berechnung ergaben sich 2073 Sekunden.

Falle Nummer 1:
Wie weiter unten schon richtig festgestellt wird,handelt es sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung. man braucht also 2 Anfangsbedingungen. Eine ist gegeben r(t=0) = 6370km, r ist der Abstand vom Erdmittelpunkt.
Es fehlt die zweite, v(t=0) = 0 km/s, die erst in # 23 nachgereicht wurde.

Man könnte aber auch statt Zeitsprüngen Wegsprünge machen, also nach jedem zurückgelegten Meter die Beschleunigung neu berechnen und die Zeiten aufaddieren.

Richtig. Und das ist nämlich die zweite Falle. Man berechnet jetzt nämlich t als Funktion von r t( r).
Die Differentialgleichung lautet jetzt
-t”( r ) / t'( r )^3 = – G Me / r^
mit G Gravitationskonstante, Me Masse der Erde. Übrigens ist g0 = G Me/re^2 und re der Erdradius die Gravitationsbeschleunigung auf der Erdoberfläche.
Auch für diese Gleichung braucht man 2 Anfangsbedingungen:
1) t(6370km) = 0s und
2) t'(6370km) = ?
t'(r ) ist der Kehrwert der Geschwindigkeit v
dt/dr = 1/( dr/dt) = 1/v
Also 2) t'(6370km) = 1/ (0 km/s), nicht definiert oder sowas wie unendlich
Hie steckt nämlich die eigentliche Singularität für diese Aufgabe und nicht bei r=0 km
Der Witz an dieser Aufgabe besteht darin, dass es eine analytische Lösung gibt, aber nicht für r(t ) sondern für t(r ), also die inverse Funktion.
Mit diese analytischen Lösung erhalte ich übrigens t = 2070.16 s bis zum Aufprall auf die Erdoberfläche. Wenn du mit Excel 2073 s erhältst, dann finde ich das sehr beachtlich.
Die Fallzeit bis zum Erdmittelpunkt r=0km ist übrigens endlich und beträgt 2529.8 s, die Geschwindigkeit ist unendlich, und dann fliegt der Körper auf die andere Seite der Erde zurück, bis in eine Höhe von 6370km usw.

p.s.
Die Aufprallgeschwindigkeit auf die Erde beträgt übrigens ca 7.91 km/s, was recht gut der ersten kosmischen Geschwindigkeit entspricht.
#28 Karl Mistelberger
mistelberger.net
23. Oktober 2020

Bevor ich zu einem Thema vorgetragen habe guckte ich erst einmal was andere dazu bereits vortrugen. Heute geht das besonders bequem:

https://www.google.com/search?q=timeline+differential+equations
#29 hwied
23. Oktober 2020

Fluffy,
sehr gut. Fangen wir hinten an. Als dt bin ich bis zu 1/100 Sekunde gegangen, Dann hat sich das Ergebnis nicht mehr verändert. Ich nehme an, weil Excel nur bis 15 Nachkommastellen rechnet, dass sich daraus der Unterschied ergibt.
Um genau zu sein.
Ich wollte mit Wegsprüngen rechnen was bei 6370 000 m ebenfalls 6370000 Rechnungen ergeben hätte.
Bei Zeitsprüngen gibt das bei 1 s 2071 Berechnungen und bei 1/100 Sekunde sind das 207 100 Berechnungen.
Und jetzt kommt der Hammer, bei Zeitsprüngen ergibt 1 Sekunde einen Wegunterschied von 7,9 km und das ist nicht mehr genau genug.

Was jetzt die Zeit betrifft. Was bedeutet t´ ?
Wir rechnen ja mit der inversen Geschwindigkeit.
So wie man beim Sport die Schnelligkeit als Zeit pro 100 m angibt. Das wäre dann t´ von r.
Als was soll ich mir jetzt t´´ von r vorstellen ? Was steckt da physikalisch dahinter ?
Wenn ich sage t´ ist die inverse Geschwindigkeit und weil die 0 ist und man durch 0 nicht teilen darf, dann ist diese Rechnung so nicht möglich. Mit den Differentialgleichungen kämpfe ich noch…. Geduld …
#30 Fluffy
13:57 Uhr
23. Oktober 2020

Fluffy,
sehr gut.

Danke für das Lob. 😀
t’ heißt dt/dr oder dt/ds, Ableitung der Zeit nach dem Weg
entspricht 1/v, dem Kehrwert der Geschwindigkeit. Manche Leute nennen das unnötigerweise Pace.
t”(r ) , die zweite Ableitung entspräche in üblichen physikalische Größen t” = -a/v^3, mit a der Beschleunigung.
15 Nachkommastellen sollten mehr als genug sein. Ich glaube der Unterschied zwischen unser beiden Zahlen kommt aus den verwendeteten Konstanzen Garvitationskonstante und Erdmasse.

Wenn du mit größeren Zeitsprüngen rechnen möchtest, versuch doch mal das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
#31 Fluffy
14:02 Uhr
23. Oktober 2020

p.s.
Runge-Kutta für Excel war von mir als Witz gedacht 😂🤣
#32 hwied
24. Oktober 2020

fluffy,
ein Lob kommt selten allein. Ihr habt euch einen spannenden Beruf ausgedacht. Die Differentialgleichungen sind eine echte Herausforderung.
Und da ich noch keine Ahnung davon habe, versuche ich die Zusammenhänge von r, a und t zu vereinfachen. Dabei bin ich auf etwas sehr schönes gestoßen. Wenn sich eine Masse in einem Gravitationsfeld zum Mittelpunkt hin bewegt, dann gilt außerhalb des Himmelskörpers die Beziehung v² / r = konstant. Wobei man r0 sehr weit weg legen muss.
Damit kann man sicher etwas anfangen.

Zu 16 eine Frage: Sie Schreiben ds = Wurzel aus dx² dy² und dx/dt = dx/ds mal dx/dt.

Wo kommt das x her und was stell es dar ?
#33 Fluffy
20:01 Uhr
24. Oktober 2020

ds = Wurzel aus dx² +dy² und dx/dt = dx/ds durch dx/dt.

x ist die Bezeichnung für eine Ortsvariable. Sie könnte auch y oder r heißen. Sehr beliebt ist auch z. Das hängt ein bisschen von der Anwendung ab. In kugelsymmetrischen Systemen nimmt gerne r, in kartesischen Koordinaten x, y und z in dieser Reihenfolge. Berechnet man die Länge einer gekrümmten Kurve nimmt man gerne s. Aber im Grunde genommen ist das beliebig.
Wenn Sie mal Ihr Abstraktionsvermögen testen wollen, dann bestimmen Sie alle Lösungen p der folgenden Gleichung
x² + p x +q = 0
#34 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied u. Fluffy
Und habt ihr die Differentialgleichungen für den freien Fall aus großer Höhe schon gelöst, jetzt abgesehen von der (coolen) numerischen Lösung?
#35 Fluffy
24. Oktober 2020

Du fängst mit dem Energieerhaltungssatz an Summe aus potentieller und kinetischer Energie ist konstant.
Formal multiplizierst du deine Gleichung
s”(t) = -g*R^2/s(t)^2
auf beiden Seiten mit s'(t) und integrierst über t. Dann bekommst du v als Funktion von s
#36 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy
Danke
Werde ich versuchen.
Hast du schon bis zum bitteren Ende gerechnet?
#37 Fluffy
24. Oktober 2020

Ja, die Zahlen stehen weiter oben.
#38 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy
H/R ist also 2, oder?
Was hast du für g genommen?
#39 Fluffy
24. Oktober 2020

g = G Me / Re^2
G Gravitationskonstante
Me Erdmasse
Re Erdradius
Werte aus der Wikipedia
#40 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy, @hwied

So zum Warm werden inklusive Auflockerungsübung.

u sei eine Funktion von t.
v sei eine Funktion von t.
Meine Auflockerungsübung sprich die Differentialgleichungen lautet:
u’ – v’ = 0
bzw.
du/dt – dv/dt = 0

Was ist die Lösung dieser DG?
#41 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy, @hwied

Zweite Auflokerungsübung.
Die DG lautet

r”(t) = – r • g/R
bzw.
d²r/(dt)² = – r • g/R

Was ist die Lösung dieser DG?
#42 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy, @hwied

Dritte Auflockerungsübung
Die DG lautet
r”(t) = -g*R^2/r(t)^2

Kommt es hier auch zu einer Pendelbewegung wie für r”(t) = – r • g/R

Man diskutiere das Verhalten indem man die Geschwindigkeit betrachte.
#43 hwied
24. Oktober 2020

Karl-Heinz,
Gnade!
Ich bin noch dabei mich mit der Schreibweise vertraut zu machen und Sie foltern schon mit Gleichungen ohne deren Anwendung anzugeben.
Das ist so, als wenn sie ein Bild einer nackten Frau versenden aber vorher ihren Kopf abschneiden.
#44 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

Hallo Herr hwied.

Und jetzt kommt die Unklarheit. In dem PhysikBuch wird a innerhalb der Erde, wo a linear abnimmt, mit dem Ausdruck d²x / dt² berechnet.
Meine Aufgabe geht aber davon aus, dass a nicht linear abnimmt, sondern quadratisch zunimmt.
Also muss die Differentialgleichung anders lauten.

Es gilt natürlich für dein Beispiel immer
Beschleunigung a = d²r/(dt)².

Die DG außerhalb der Erde:

(I): r”(t) = d²r(t)/(dt)² = -g0*R^2/r(t)^2
Wobei g0 die Erdbeschleunigung beim Erdradius R ist.
Die DG innerhalb der Erde:

(II): r”(t) = d²r(t)/(dt)² = – r(t) • g0/R

Da man zum Lösen dieser zwei DG zweimal integrieren muß, ergeben sich auch zwei Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen, wie Startposition und Startgeschwindigkeit ermittelt werden können.

Die DG (I) ist wesentlich schwieriger zu lösen als die DG (II). Ich nehme daher an, dass man bewusst auf den Fall (I) in Ihrem Physikbuch verzichtet hat.
#45 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

Ausserhalb der Erde gilt allgemein
g(r ) = G Me / r^2

Bei r= Re gilt
g0 = G Me / Re^2
Umgestellt
G Me = g0 * Re^2

Damit ergibt sich
g (r ) = g0 * Re^2 / r^2
g0 und Re finde ich anschaulicher als die Gravitationskonstante und Erdmasse. 😉
#46 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

d()/dt ist ja Differentialoperator.
Dennoch kann man schöne Sachen damit machen an die man sich sehr schnell gewöhnt, obwohl es nicht ganz durchsichtig ist.

Beispiel:
u’ – v’ = 0
bzw.
(I): du/dt – dv/dt = 0
Gleichung mit dt multiplizieren.
du– dv = 0
Integral darüber schmeißen.
∫du– ∫dv = 0
Integral lösen
u – v = C
C ist eine Konstante
u = v + C
Die Lösung der DG von u’ – v’ = 0 lautet also
u und v sind bis auf eine Konstante C gleich.
Ist doch cool oder? Und die blöde Variable t haben wir gar nicht benötigt.
#47 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

Im Prinzip wurde diese DG aufgestellt
d²r/(dt)² = g (r )

Und wie g (r ) aussieht, hängt davon ab ob man sich innerhalb oder außerhalb der Erde oder sonst irgendwo in einem stationären inhomogenen Gravitationsfeld befindet.

PS: Ich konnte dadurch alle Klarheiten beseitigen. 😉
#48 hwied
24. Oktober 2020

fluffy33,
beim Joggen ist mir folgender Lösungsweg eingefallen. Ich weiß ja nicht wie ihr das rechnet.
Also, wieviel Möglichkeiten gibt es für p ?
Dazu denke ich mir die Gleichung x² + px +q zerlegt in
y= x²
y=px
y=q
Das ist eine Parabel und eine Gerade mit der Steigung p und eine Gerade y=q-
Da die Ausgangsgleichung durch Ordinaten -Addition ensteht, kann ich q zerlegen .
also y= (x² + 1/2q) +( px + 1/2 q)
Dabei verschiebt sich die Parabel nach oben oder unten, die Gerade px verschiebt sich in gleichem Maße. Das bedeutet q hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Lösungen.
Jetzt setze ich x² = -px
Und man erkennt, dass die Gerade mit der Steigung p die Parabel 2 mal schneidet. Aber das ist nicht gefragt. Gefragt ist , wieviel Geraden die Parabel schneiden können. Es sind auch zwei, nämlich mit +p und mit -p.
Hoffentlich ist das richtig !?
#49 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

Homogenes Gravitationsfeld
d²r/(dt)² = g wobei g = konstant.
v(t) = dr/dt
d v(t)/dt = g mit dt multiplizieren ergibt
d(v) = g d(t)
Integral drüber
∫d(v) = ∫g d(t) + C
v(t) = g* t + v0
v(t) = dr/dt
dr/dt = g* t + v0 mit dt multiplizieren ergibt
dr = g* t * dt + v0*dt
Integral darüber
∫dr = ∫(g* t) * dt + ∫v0*dt +C
r(t) = g/t^2 + v0*t + r0

r(t) = r0 + v0•t + g/2 • t^2
#50 hwied
24. Oktober 2020

Karl-Heinz,
Sie haben mir sehr geholfen ohne es zu wissen. Der Ausdruck d²x/ dt² ist nur eine Bezeichnung für die Beschleunigung. Man kann mit dieser Bezeichnung nicht rechen. Die Gleichung zum Rechnen muss man erst finden. Warum steht das nicht im Physikbuch ?
#51 hwied
24. Oktober 2020

Karl-Heinz,
den Lösungsweg für ein homogenes Gravitationsfeld ist relativ einfach, deshalb führt ihn jedes Physikbuch aus.

Bei unserem Problem ist das Gravitationsfeld nicht homogen, es ist eigentlich nirgends homogen auch nicht auf der Erdoberfläche. Mit jedem cm Höhenunterschied verändert sich g.
Trotzdem sehr fleißige Arbeit, so ausführlich habe ich es noch nirgends gelesen.
#52 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

Nach einiger Anstrengung haben es die da geschafft. Richtige Lösung ganz unten.
Kommt deiner Lösung sehr nahe. 😉

https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?post_id=482159&topic=65100&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F
#53 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied

Der Ausdruck d²x/ dt² ist mehr als nur eine Bezeichnung für die Beschleunigung. So ist nämlich die Beschleunigung grundsätzlich definiert.
Momentangeschwindigkeit ist die erste Ableitung nach dem Weg. Momentanbeschleunigung ist die zweite Ableitung nach dem Weg. Ruck wäre jetzt die dritte Ableitung nach dem Weg.

Wenn du auf einem Berg bist und festen Boden unter dir hast, dann wirkt eine Gegenkraft auf dich, so dass du in gleicher Position bleibst. Solltest du mal das Glück haben abzustürzen, dann greift g(r ) voll.
Ich könnte jetzt deine Bewegung verfolgen und daraus die Beschleunigung d²x/ dt² ausrechnen und nach einigen Tagen zum Leichenschmaus vorbeikommen. 😉
#54 Karl-Heinz
Graz
24. Oktober 2020

@hwied

Ist natürlich nur Spaß. Natürlich freue ich mich, wenn du Gesund bleibst und nirgends runterfällst. 🙂
#55 Fluffy
24. Oktober 2020

@hwied #48

fluffy33,
beim Joggen ist mir folgender Lösungsweg eingefallen. Ich weiß ja nicht wie ihr das rechnet.
Also, wieviel Möglichkeiten gibt es für p ?
Dazu denke ich mir die Gleichung x² + px +q zerlegt in
y= x²
y=px
y=q
Das ist eine Parabel und eine Gerade mit der Steigung p und eine Gerade y=q-
Da die Ausgangsgleichung durch Ordinaten -Addition ensteht, kann ich q zerlegen .
also y= (x² + 1/2q) +( px + 1/2 q)
Dabei verschiebt sich die Parabel nach oben oder unten, die Gerade px verschiebt sich in gleichem Maße. Das bedeutet q hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Lösungen.
Jetzt setze ich x² = -px
Und man erkennt, dass die Gerade mit der Steigung p die Parabel 2 mal schneidet. Aber das ist nicht gefragt. Gefragt ist , wieviel Geraden die Parabel schneiden können. Es sind auch zwei, nämlich mit +p und mit -p.

Ich muss zugeben, langsam bin ich echt beeindruckt. Ich kann keinen Widerspruch in deinen Argumentationen entdecken. Außerdem hast du das Einkörperproblem im veränderlichen Gravitationsfeld numerisch mit Excel(!) gelöst .
Ausdrücke wie d²x/ dt² sind natürlich von den Experten stark verkürzt. Es müsste eigentlich wenigstens d²x(t)/ dt² heißen, um zu demonstrieren, dass x eine Funktion von t ist.
#56 Karl-Heinz
Graz
24. Oktober 2020

@Fluffy

Verstehe ich jetzt nicht ganz, aber gilt für x^2+px+q = 0 nicht

p^2 = 4q … eine Lösung bzw. doppelte Nullstelle

p^2 > 4q zwei Lösungen bzw. zwei Nullstellen

p^2 < 4q keine Lösung

Ich muß aber zugeben, ich habe auch nicht ganz verstanden was ihr da macht.
#57 Fluffy
24. Oktober 2020

Für Karl-Heinz wiederhole ich noch mal die Aufgabe

bestimmen Sie alle Lösungen p der folgenden Gleichung
x² + p x +q = 0
#58 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@hwied #32

Dabei bin ich auf etwas sehr schönes gestoßen. Wenn sich eine Masse in einem Gravitationsfeld zum Mittelpunkt hin bewegt, dann gilt außerhalb des Himmelskörpers die Beziehung v² / r = konstant. Wobei man r0 sehr weit weg legen muss.
Damit kann man sicher etwas anfangen.

Du meinst wohl v² • r = konstant, oder?
#59 Karl-Heinz
24. Oktober 2020

@Fluffy

Kaisers neue Kleider?
Ist das nicht eine quadratische Gleichung?
#60 Fluffy
25. Oktober 2020

😇
#61 Karl-Heinz
Graz
25. Oktober 2020

@60Fluffy
Und das bedeutet?
Bin ein bisschen ratlos. 🙂
#62 Fluffy
25. Oktober 2020

Die Aufgabe soll ja das Abstraktionsvermögen schulen.
Lies doch noch mal und dann schreib einfach die Lösung hin.
#63 hwied
25. Oktober 2020

Fluffy,
ich bin auch beeindruckt, mit deiner Frage habe ich verstanden, was mit einer Differentialgleichung gemeint ist. Die steht stellvertretend für ganz viele Gleichungen, und die Differentialgleichung gibt nur an, wie die Zusammenhänge der abhängigen Variablen und der unabhängigen Variablen zueinander sind. Richtig ?
Jetzt zur inneren Logik der Schreibweise.
das d vor x(t) bedeutet, dass ich die Ableitung von x(t) mache ?? Diese Frage ist für mich wichtig.
Und das d² bedeutet, dass ich von dieser Ableitung wieder die Ableitung mache.??? un d sich das x verändert.
Im Gegensatz zu dt², wobei t gleich bleibt.
Karl-Heinz 58
das muss ich erst mit der Bewegungsenergie und Lageenergie neu durchdenken.
#64 Fluffy
25. Oktober 2020

Es stimmt, dx(t)/dt ist eine Kurzschreibweise für die Ableitung der der Funktion x(t) nach t. Dabei werden aber weder x noch t verändert.
dx/dt ist eine neue Funktion und sollte eigentlich einen neuen Namen bekommen z.B. ξ(t) = dx(t)/dt

Die Ableitungsoperator wird eigentlich geschrieben
d/dt angewendet auf x(t) also (d/dt)x(t)
Die zweite Ableitung ist dann (d/dt)*(d/dt) = d²/(dt)²
und man schreibt x”(t) = (d²/dt²)x(t) oder auch =d²x/dt²
#65 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

@hwied

d²x/dt² heißt nicht d²x/d(t²) sondern d²x/(dt)²
Nur das ist den Mathematikern wiederum zuviel Arbeit und sie schreiben bevorzugt d²x/dt². Sind halt richtige Faulenzen die Mathematiker. 😉
#66 Karl-Heinz
Graz
25. Oktober 2020

@hwied

fluffy33,
beim Joggen ist mir folgender Lösungsweg eingefallen. Ich weiß ja nicht wie ihr das rechnet.
Also, wieviel Möglichkeiten gibt es für p ?
Dazu denke ich mir die Gleichung x² + px +q zerlegt in
y= x²
y=px
y=q
Das ist eine Parabel und eine Gerade mit der Steigung p und eine Gerade y=q-
Da die Ausgangsgleichung durch Ordinaten -Addition ensteht, kann ich q zerlegen .
also y= (x² + 1/2q) +( px + 1/2 q)
Dabei verschiebt sich die Parabel nach oben oder unten, die Gerade px verschiebt sich in gleichem Maße. Das bedeutet q hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Lösungen.
Jetzt setze ich x² = -px
Und man erkennt, dass die Gerade mit der Steigung p die Parabel 2 mal schneidet. Aber das ist nicht gefragt. Gefragt ist , wieviel Geraden die Parabel schneiden können. Es sind auch zwei, nämlich mit +p und mit -p.
Hoffentlich ist das richtig !?

Des ist ein aufgelegter Blödsinn. Wenn man es schon grafisch Lösen will, sollte man es richtig tun.

Ausgangsgleichung: x^2+px+q = 0
Wir stellen um.
x^2 = -px-q
Links steht x^2 was eine Parabel ist.
Rechts steht -px-q was eine Gerade darstellt.
Jetzt stellen wir uns eine wirklich einfache Frage, die fast jeder Lösen kann.
Wann gibt es genau eine Lösung. Die Antwort darauf ist mehr als simpel, ich meine sie ist wirklich trivial. Es gibt genau dann eine Lösung wenn die Gerade die Parabel als Tangente berührt. Diese Trivialität wollen wir jetzt berechnen. Wir bilden die erste Ableitung von der Parabel.
y1=x^2
y1′ = 2x
Wir bilden die erste Ableitung von der Geraden.
y2 = -px-q
y2′ = -p
Wir setzen beide Ableitungen gleich.
y1’=y2′
2x = -p
x = -p/2

Wir setzen die beiden y-Werte für x= -p/2 gleich.
y1=y2
(-p/2)^2 = -p • (-p/2)-q
p^2/4 = p^2/2 – q
-p^2/4 = – q
p^2 = 4q
Es gibt also genau eine Lösung wenn p^2 = 4q ist.

Es gibt genau zwei Lösungen, wenn an der Stelle x= -p/2
y1<y2 gilt.
(-p/2)^2 < -p • (-p/2)-q
p^2/4 < p^2/2-q
-p^2/4< -q
p^2 > 4q
Wenn also die Bedingung p^2 > 4q erfüllt ist, dann gibt es genau zwei Lösungen.

Umgekehrt gibt es keine Lösung wenn gilt
p^2 < 4q

@Fluffy

Ich muss zugeben, langsam bin ich echt beeindruckt. Ich kann keinen Widerspruch in deinen Argumentationen entdecken.

Ich sage nur Idiot.
#67 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

Und da ich ja nicht naive bin, denke ich, dass es am Besten ist, wenn ich mich vertschüsse.
#68 Jolly
25. Oktober 2020

@Fluffy

Ich versuche zu lösen:
p = – (x + q/x)

für alle x ungleich 0
#69 Fluffy
25. Oktober 2020

Eins rauf mit Mappe.

Das dürfte damit geklärt sein.
#70 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

@Jolly

x^2 -3x +3 = 0

Die Frage ist, ob es für x bei dieser Gleichung eine oder zwei Lösung(en) im Reellen gibt.
Offensichtlich nicht, da (-3)^2 nicht größer gleich 4•3 ist.
#71 Fluffy
25. Oktober 2020

Das dürfte damit geklärt sein.

Doch nicht?
#72 hwied
25. Oktober 2020

Karl-Heinz,
Sie haben den Sinn oder die Absicht von Fluffys Frage nach der Anzahl der Möglichkeiten von p nicht verstanden. Es geht hier nicht um die Lösung, die war klar bei einer quadratischen Gleichung.
Es geht darum, dass man eine Gleichung aufdröselt und die Zusammenhänge von p, q und x überdenkt. Und wenn man das mit analytischer Geometrie macht und in dieser Form denkt, dann ist das nicht verboten. Beim Joggen ist diese Form des Denkens praktisch, weil man die Zusammenhänge graphisch vor sich sieht. Bei der Frage mit v² , da habe ich die Masse einfach weggelassen, weil ich sie 1 gesetzt gedacht habe.
Eine kurze Lösung folgt noch.
#73 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

@hwied

Und was genau ist jetzt deine Erkenntnis zu x^2+px+q = 0 ?
#74 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

@hwied

x^2+px+q = 0
x^2 -3x +3 = 0 ; q=3 und damit gibt es keine Lösung.

x^2 -3x +2.25 = 0; q=2,25 und damit gibt es genau eine Lösung bei x=1,5.

Und du behauptest: Das bedeutet q hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Lösungen. ???
#75 Karl-Heinz
Graz
25. Oktober 2020

@hwied
Ohne Kommentar aus dem kleinen Österreich.

x^2+px+q = 0
x^2 +q/2 +px+q/2 = 0
x^2 +q/2 = -px – q/2
Wird q verändert wird die Funktion links nach oben und die Funktion rechts nach unten verschoben.
#76 hwied
25. Oktober 2020

Karl-Heinz,
Kannst du mir nochmal vergeben am heiligen Sonntag !
Wenn dein Blutdruck über 180 gestiegen ist, dann gönne dir jetzt einen Schlagoberst.

Ich werde es mir merken, wer sich in den Sumpf begibt, der kommt darin um. Ein Glück, dass es dich gibt.
#77 Karl-Heinz
25. Oktober 2020

@hwied

Na dann ist ja alles klar. Ich persönlich bin schon froh wenn ich Erkenntnisse von anderen nachvollziehen kann. Zu mehr reicht es bei mir leider net. 🙂
#78 hwied
25. Oktober 2020

Nachtrag :Der alte Vieta ist wieder auferstanden, x1 + x2 = -p
und x1 mal x2 = q. Daran hätte man denken müssen, wenn man schon die Diskriminante vergessen hat.
#79 .
11. November 2020
#80 😀
11. November 2020

Geschichte der Differentialgleichungen

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