Theorema Magnum MMXIII: der Satz über beschränkte Primzahllücken

„Primzahlen sind zum Multiplizieren und nicht zum Addieren da” sagt ein dem Physiker Lew Landau zugeschriebenes Zitat. Dementsprechend hat die aus dem 19. Jahrhundert stammende Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge geben sollte, und die bereits aus dem 18. Jahrhundert stammende Goldbach-Vermutung, dass alle geraden Zahlen größer 2 sich als Summe zweier Primzahlen zerlegen lassen – mit denen sich in der Vorkriegszeit noch führende Mathematiker wie Schnirelman und Winogradow befaßt hatten – seit den 40er Jahren ein halbes Jahrhundert lang in der “ernsthaften” Forschungsmathematik kaum eine Rolle gespielt. Spätestens seit Greens und Taos Beweis der Existenz beliebig langer Folgen von Primzahlen war die additive Kombinatorik aber wieder ein etabliertes Forschungsgebiet, die in diesem Beweis verwendeten Methoden galten als grundlegend weit über das bewiesene Resultat hinaus.

Zu der Goldbach-Vermutung über die Zerlegbarkeit gerader Zahlen als Summe zweier Primzahlen erhält man eine schwächere Version durch Addition einer ungeraden Zahl: jede ungerade Zahl größer 5 soll sich als Summe dreier Primzahlen zerlegen lassen. Schon 1937 hatte Winogradow bewiesen, dass dies für alle ungeraden Zahlen oberhalb einer bestimmten Konstante zutrifft. Die war freilich zu groß, als dass man die restlichen Fälle einfach durch Berechnung lösen könnte. Tschebotarjow hatte gezeigt, dass die asymptotische Dichte der als Summe zweier Primzahlen zerlegbaren geraden Zahlen gleich 1 ist. Schon zuvor hatte Schnirelman bewiesen, dass jede Zahl Summe von weniger als 20 Primzahlen ist, was 1995 von Ramaré für gerade Zahlen auf 6 Summanden und 2012 von Tao für ungerade Zahlen auf 5 Summanden verbessert worden war. Währenddessen war in einem im Internet arbeitenden kollaborativen Projekt (“Polymath”) die Gültigkeit der ursprünglichen Vermutung für alle Zahlen bis 4×10¹⁸ bewiesen worden. Für die schwächere Version erwartete man, dort noch weiter zu kommen. Das wurde dann aber obsolet, als Harald Helfgott, ein aus Peru stammender, aber in Princeton promovierter und für das CNRS arbeitender analytischer Zahlentheoretiker, 2013 eine Verbesserung von Winogradows Resultat auf eine wesentlich kleinere Konstante erreichte. Er bewies, dass alle ungerade Zahlen größer 10³⁰ als Summe dreier Primzahlen darstellbar sind und er unternahm es dann auch sofort erfolgreich mit David Platt, einem Kollegen aus Bristol, die Vermutung für alle kleineren Zahlen mit Computerhilfe zu bestätigen, womit er also die schwache Goldbachvermutung bewies. Bemerkenswerterweise benutzte sein Beweis für größere Zahlen nur Methoden, die schon in der Vorkriegszeit bekannt gewesen waren: die Kreismethode von Hardy und Littlewood, Winogradows Abschätzungen von Exponentialsummen und das große Sieb nach Linnik.

Viel weniger wußte man zu dieser Zeit über die andere große Vermutung der additiven Zahlentheorie, die Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge. Hardy und Littlewood hatten seinerzeit die Vermutung aufgestellt, dass die Anzahl der Primzahlzwillinge bis zur Zahl x asymptotisch mit der Konstanten sein sollte. Das war auch kompatibel mit damals schon berechneten oberen Schranken. Untere Schranken kannte und kennt man jedoch keine mit Ausnahme der berechneten Anzahlen für endlich viele Werte von x.
Es war nicht einmal bekannt, ob es überhaupt unendlich viele Primzahlen mit beschränktem Abstand voneinander gibt. 2003 hatten Goldston und Yildirim einen zunächst fehlerhaften, dann aber mit János Pintz von der Ungarischen Akademie der Wissenschaften korrigierten, Beweis gefunden, dass für die Abstände p_n zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen die Folge (p_n+1-p_n)/log(p_n) gegen Null geht. Ideen aus diesem Beweis spielten auch eine Rolle im Beweis des Satzes von Green-Tao.
In einer 2013 bei den Annals of Mathematics eingereichten Arbeit wurde dann behauptet, dass es unendlich viele Primzahlen mit Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Zahlen
kleiner als 70 Millionen gebe. Der Autor, Yitang Zhang, war ein 48-jähriger Dozent der University of New Hampshire, der nach seinem Bachelor in Peking als 30-jähriger in die USA gekommen war, dort in algebraischer Geometrie promoviert und danach als Buchhalter gearbeitet hatte, und 1999 befristet an der University of New Hampshire angestellt worden war. Er hatte bisher zwei Veröffentlichungen.
Die Experten waren zunächst skeptisch. Die Arbeit verwendete zwar die Methoden von Goldston und Yildirim, aber darüber hinaus war nicht erkennbar, was eigentlich die neuen Ideen sein sollten. Doch schnell waren die Prüfer überzeugt und – was bei dieser Zeitschrift sehr unüblich ist – innerhalb weniger Wochen wurde die Arbeit modulo kleinerer Korrekturen zur Veröffentlichung angenommen. 
Die 70 Millionen waren nur eine griffige Zahl, tatsächlich rechnete jemand nach, dass die Argumente der Arbeit unendlich viele Primzahlpaare mit maximalem Abstand 63374611 geben. Innerhalb weniger Tage nach Erscheinen der Arbeit wurde dann von verschiedenen Autoren gezeigt, dass die Methoden der Arbeit verwenden können, um noch wesentlich bessere Werte als 70 oder 63 Millionen zu bekommen. Zunächst verbesserte jemand in einer 2-seitigen Arbeit den Wert auf 60 Millionen, ein Beitrag von Tao am folgenden Tag auf seinem Blog ergab sogar 4,802222 Millionen. Einen weiteren Tag später startete dann ein Polymath-Projekt mit dem Ziel, diesen Wert weiter zu verbessern. Das gelang auch innerhalb von 2 Monaten mit einer Verbesserung auf 5414, später auf 4860, woraus eine Veröffentlichung des Autors D. H. J. Polymath resultierte. Der spektakulärste Durchbruch kam dann aber nicht vom Polymath-Projekt, sondern fünf Monate später von James Maynard, einem Doktoranden aus Oxford. Er reduzierte den Wert auf 600 (und unter der Annahme der Richtigkeit einer unbewiesenen Vermutung auf 12). Anders als Zhang und die ihm folgenden Arbeiten des Polymath-Projekts benutzte er keine Verbesserungen des Bombieri-Winogradow-Theorems, und er bewies nicht nur , sondern auch die Endlichkeit von für jedes h. Terence Tao nahm Maynards Arbeit prompt zum Anlaß, ein neues Polymath-Projekt zu starten, das den bewiesenen Wert auf 272 reduzierte.