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Pi

Von / 14. Juli 2024 / 76 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Beweise ohne Worte

Wie sieht man auf Anhieb, dass \pi größer als 3, oder äquivalent dass der Umfang des Einheitskreises größer als 6 ist?

Quelle: https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words

Noch einfacher sieht man, dass \pi kleiner als 4 ist: Man umschreibt den Einheitskreis durch ein Quadrat der Kantenlänge 2 und vergleicht die Flächeninhalte.

Tau statt Pi
Der Beweis ohne Worte zeigt ja eigentlich eine Abschätzung für \tau=2\pi .

Das erinnert mich daran, dass seit vierzehn Jahren von dem Lernsoftware-Unternehmer Michael Hartl propagiert wird, statt des Pi-Tag am 14. März den Tau-Tag am 28. Juni zu feiern. Dafür organisiert er jährliche Events, unterstützt z.B. von Elon Musk und Vitalik Buterin, die von diesem Jahr kann man auf https://www.michaelhartl.com/state-of-the-tau-2024 ansehen.

Hartls Meinung nach sollte die Mathematik des Kreises in der Schule nur noch mit \tau gelehrt werden. Statt U=2\pi r hieße es dann U=\tau r , statt A=\pi r^2 hätte man A=\tau\frac{r^2}{2} , und Sinus und Kosinus wären \tau- statt 2\pi- periodisch.

Ich halte die Wahl der Konstanten ja eher für irrelevant. Schließlich soll man Formeln verstehen statt sie auswendig zu lernen – und für die Verstehbarkeit spielt der Faktor 2 sicher keine Rolle. Wie man dem Artikel https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/revolution-gegen-die-kreiszahl-physiker-will-pi-abschaffen-a-771007.html auf Spiegel Online entnehmen kann, halten auch deutsche und österreichische Didaktiker diese Neuerung für überflüssig, sehr beruhigend.

Auf Hartls Website findet sich auch der überschwängliche Dankesbrief eines anonymen Studenten, der seiner kleinen, Matheunterricht-geplagten Schwester mittels Tau angeblich zum unverhofften Erfolg in einer Trigonometrie-Klausur verhalf. Derartige Fälle kann sich freilich Rudolf vom Hofe von der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik nicht so recht vorstellen (zitiert aus Spiegel Online):

“Ich glaube nicht, dass durch diese Verdopplung die entsprechenden Formeln plötzlich allen einleuchten”, sagt der Bielefelder Professor. Und überhaupt habe die Mathematik in der Schule genug echte Probleme. Auch seine Klagenfurter Kollegin Edith Schneider sieht keine wirkliche Vereinfachung: An Pi führe derzeit schließlich kein Weg vorbei. “Tau wäre doch nur wieder ein neues, zusätzliches Symbol, das ich mir als Schüler dann auch noch merken soll.”

Annäherungen
Neben dem Pi-Tag am 14. März und dem Tau-Tag am 28. Juni gibt es auch noch den Pi-Approximations-Tag am 22. Juli. Die Annäherung \frac{22}{7}\approx\pi ist das Thema des folgenden Bildes von https://singingbanana.tumblr.com/post/7921183215/reposting-this-for-pi-approximation-day

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Für nicht-frankophone Leser: ‘ceci n’est pas une pi’ bedeutet ‘das ist kein Pi’, das Bild und der Text sind eine Variation auf ‘ceci n’est pas une pipe’ (‘das ist keine Pfeife’) von Magritte. Dieses bekannte Gemälde (das ich hier aus Urheberrechtsgründen nicht zeigen kann) wird meist interpretiert als Demonstration, daß selbst die realistischste Abbildung eines Objekts nicht das Objekt selbst ist.

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Kommentare (76)

  1. #1 Manfred Lohnbauer
    15. Juli 2024

    PI für Fünftklässler (empirische Herleitung): Lege 22 etwa gleich grosse Kürbiskerne zu einem Kreis. Sein Durchmesser beträgt 7 Kürbiskerne. Näherungswert für PI = 22/7. Vielleicht haben auch die Steinzeitmenschen PI so entdeckt. Kürbiskerne eignen sich, weil sie spitze Enden haben.

  2. #2 Manfred Lohnbauer
    15. Juli 2024

    PI für Achtklässler (empirische Herleitung aus dem Kugelvolumen): Eine halbe Hohlkugel mit dem Innendurchmesser 9,7 cm fasst 239 Gramm (239 cm3) Wasser (auf einer Waage wägen). Volumen der Halbkugel = (2/3) * r^3 * PI –> PI = 3,1424… (besser als 22/7). Die Herleitung des Kugelvolumens für Acht- oder Neuntklässler geht rein mathematisch ohne Integralrechnung nach dem Prinzip des Cavalieri und den Ähnlichkeitssätzen: https://www.onlinemathe.de/forum/Herleitung-des-Kugelvolumens

  3. #3 Na ja
    15. Juli 2024

    Danke!

  4. #4 Fluffy
    15. Juli 2024

    Beim Pochhammer-Symbol ist wohl die Steigende Faktorielle gemeint.
    (x)n = x(x+1)(x+2)…(x+n-1)

  5. #5 Thilo
    15. Juli 2024

    Ja, stimmt. Es gibt da unterschiedliche Konventionen, aber hier ist die steigende Faktorielle Gamma(x+n)/Gamma(x) gemeint. Wird korrigiert.

  6. #6 Thilo
    15. Juli 2024

    Das Paper ist übrigens auf https://arxiv.org/pdf/2401.05733

  7. #7 Fluffy
    15. Juli 2024

    @alle emprischen Achtklässler #2

    Also 239 gramm, cm3 oder auch ml krieg ich ja noch irgendwie hin.
    Aber wo krieg ich eine Halbkugel her,
    noch dazu mit einem Durchmesser von genau 9,7 cm?

  8. #8 Fluffy
    15. Juli 2024

    Frage:
    Angenommen, ich lege ein Tau (sic!) um den Äquator. Um wieviel Meter muss ich das Tau verlängern, damit eine Fliege drunter durch krabbeln kann? Welcher Genauigkeit von pi entspräche das?

    Zusatzfrage (keine Zusatzpunkte) :
    Führe die Berechnungen mit π und τ durch und erkläre den Unterschied in den Ergebnissen..

  9. #9 Dirk Freyling
    Erde
    15. Juli 2024

    Zu Pi… Obwohl die ein oder andere „Auffälligkeit“ seit Jahrhunderten bekannt ist, ist bis heute kein tiefer liegendes Verständnis modellmäßig entwickelt worden. Sehr bemerkenswert ist das Buffonsche Nadelproblem welches experimentell die Kreiszahl π bestimmt*. Das ist insbesondere unter dem Aspekt interessant, daß die Fragestellung der Wahrscheinlichkeit und die Konzeption des Versuches, indem „Linienobjekte“ (Nadeln) parallele Abstände „berühren“, keinen offensichtlichen Zusammenhang zum Kreis abbilden und der Versuch als solches das Ergebnis ohne eine begründete mathematische Berechnung liefert, insofern als das man schlicht das Verhältnis von linien-berührenden Nadeln (l) zur Gesamtanzahl (n) der im Versuch „geworfenen“ Nadeln (n) ausdrückt: l/n ≈ 2/ π.

    *Konkret bedarf es hier einer (weiterführenden) analytischen Fähigkeit einen Zusammenhang zu π herzustellen, da die experimentell bestimmte Wahrscheinlichkeit, mit der Nadeln mindestens eine parallele Linie berühren, den Wert 2/π ergibt. Geschichtliche Einzelheiten zu Louis Leclerc de Buffon (1707 – 1788) von Ehrhard Behrends, siehe: https://page.mi.fu-berlin.de/bhrnds/publ_papers/buffon3.pdf

  10. #10 Dirk Freyling
    Erde
    15. Juli 2024

    Thilo, bezüglich der von Dir erwähnten Stringtheorien (Field theory expansions of string theory amplitudes)…

    Wenn es jemanden wirklich interessiert, sollte man zumindest Folgendes wissen…

    Stringtheorien potenzieren aus erkenntnistheoretischer Sicht nochmals das „Phänomen der Unanschaulichkeit“. Stringtheorien sind u.a. ein „Sonderfall“ variabler Kopplungskonstanten. Jedoch sind diese Kopplungskonstanten keine vorbestimmten, anzupassenden oder universellen Parameter. String-Kopplungskonstanten sind Skalarfelder, die von der Position im Raum und der Zeit abhängen können, deren Werte so dynamisch festgelegt werden. Die eindimensionalen Strings sind zwar offensichtlich anders als die nulldimensionalen Punkte des Standardmodells der teilchenphysik (SM), aber Stringtheorien sind ergebnisorientiert, trotz der “Mehrdimensionen” in denen sich die Strings „breit machen“, keineswegs grundsätzlich verschiedene Konzepte im Vergleich zu den herrschenden Quantenfeldtheorien, wie häufig gedacht und behauptet wird. Auch Stringtheoretiker sind bemüht Quarks&Co [*] theoretisch zu konstruieren. Das gesamte Arsenal an Beliebigkeit in Form nicht direkt messbarer instabiler „Teilchen“, die im Beschleuniger theorie-induziert werden, will die Stringtheorie „ungeprüft“ abbilden (formal nachbauen). Das Dogma der SM-Theorieobjekte bleibt also erhalten. Derzeitige Stringtheorie-Modelle sind so aussage- und gegenstandslos, dass selbst die Protagonisten des realobjektbefreiten Standardmodells keine (wirkliche) Angst vor diesen haben.

    [*] Quarks sind keine Teilchen, weder im phänomenologischen noch im quantentheoretischen Sinne, da sie nicht als isolierbare Partikel bzw. Zustände auftreten. Die physikalischen Teilchen andererseits sind als gebundene Zustände aus Quarks zusammengesetzt zu denken. Den elementaren Größen der Quantenfeld-Theorie entsprechen keine physikalischen Objekte. Also die gewünschten, verschiedenen Arten von postulierten Elementarteilchen im SM unterscheiden sich durch die Quantenzahlen dynamischer Eigenschaften wie Ladung oder Isospin. Einige sind per Postulat masselos, andere nicht. Elektronen sind theoriegewünscht zum Masse- und Ladungspunkt verarmt. Einige andere sollten masselos sein, wie Neutrinos, sind es dann aber doch nicht. Auftretende mathematische Theoriefragmente, wie z.B. “5 Phasen” bei der CKM-Matrix werden einfach verworfen, da diese ergebnisorientiert nicht “passen”. Da heißt es lapidar zum Thema „Quarkmischungen“: …Die CKM-Matrix (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix) wird physikalisch eindeutig durch drei reelle Parameter sowie eine komplexe Phase beschrieben (weitere fünf Phasen, die mathematisch auftreten, haben keine physikalische Bedeutung)…“ Das bedeutet schlicht und ergreifend, dass man sich ergebnisorientiert die mathematischen Elemente nimmt, die „irgendwie passen“ und andere einfach ignoriert.
    Wie auch immer, quantisierte Eigenschaften werden durch innere Symmetrien charakterisiert und haben nichts mehr mit Eigenschaften im üblichen Sinne gemeinsam, die als den Dingen inhärente physische Qualitäten aufgefasst werden können. Der Isospin der Nukleonen oder die »Farbe« der Quarks drücken überhaupt keine Qualitäten in diesem Sinne mehr aus, sondern nur noch beliebig festgelegte Basiszustände beziehungsweise Richtungen in einem abstrakten Raum, die durch Symmetrietransformationen aufeinander bezogen werden. Nahezu alle bisher bekannten Symbolsysteme werden zitiert. Mal sind es die Farben (rot, blau, grün), mal Buchstaben (u, d, s, c, b, t), mal symbolische Eigenschaften (strange, charm, beauty,…), als Begriff kommen auch noch die Aromen hinzu, für eine noch unterhalb der Quarks liegende Struktur wurden die Bezeichnungen ‘tohu’ und ‘wabohu’ aus der Schöpfungsgeschichte im Alten Testament vorgeschlagen.

  11. #11 Manfred Lohnbauer
    15. Juli 2024

    @ Fluffy: Solche Halbkugeln aus Kunststoff gibt es billig in verschiedenen Grössen in Bastelmärkten. Sie können auch grösser sein. Der Durchmesser muss nicht 9,7 cm sein, die Rechnung ist dann anders, aber das Resultat ist immer etwa gleich. Pi ist ja eine Konstante.

  12. #12 Joachim
    15. Juli 2024

    Zu tau eine kleine (dumme) Frage:

    pi ist ja das Verhältnis vom Kreisumfang zu seinem Durchmesser. Und der Durchmesser ist 2*Radius. Müsste es also nicht

    U=(2r) * pi

    und das kann umgestellt werden zu

    U=2pi r (weil trivial, Kommutativgesetz)

    heißen? Für mich hat diese 2 mit dem Radius und nicht mit pi etwas zu tun. Und außerdem: tau hat drei Zeichen (wenn man tau schreibt) und 2pi ebenfalls. Wo soll der Vorteil sein?

    Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht? Arme Schüler…

  13. #13 Fluffy
    16. Juli 2024

    @#7 Manfred Lohnbauer

    Der Durchmesser muss nicht 9,7 cm sein, die Rechnung ist dann anders, aber das Resultat ist immer etwa gleich. Pi ist ja eine Konstante.

    Und ich dachte, es hat was mit optimalen Näherungen zu tun, so wie 22/7. Schließlich sind ja 9,7 und 237 ziemlich spezielle Zahlen.
    und (9,7 /2)^3 ist ja in sehr guter Näherung gleich 114

  14. #14 Frank Wappler
    16. Juli 2024

    Thilo schrieb (14. Juli 2024):
    > […] Beweise ohne Worte
    > Wie sieht man auf Anhieb, dass \pi größer als 3, oder äquivalent dass der Umfang des Einheitskreises größer als 6 ist?
    > https://i2.wp.com/scienceblogs.de/mathlog/files/2024/07/IMG_3368.png?ssl=1

    In diesem Bild aus dem obigen ScienceBlog-Artikel lässt sich jedenfalls (auf Anhieb) ein ungerichteten planaren Multigraph mit 7 Knoten erkennen;
    wovon einer durch jeweils eine Kante (seiner insgesamt 6 Kanten) mit jedem der 6 verbleibenden Knoten verbunden ist,
    und diese letzteren 6 Knoten außerdem untereinander als ein “Zyklus” mit doppelten Kanten verbunden sind.

    Darüber hinaus kann man sich (beim Anblick dieses Bildes) allerdings vorstellen: … dass gemessen und festgestellt worden wäre …

    – dass all diese Knoten Paar-weise jeweils durch einen bestimmten (symmetrischen) “Abstand voneinander” charakterisiert sind (anstatt sich gegenüber einander zu bewegen), und

    – dass die Abstände zwischen je zwei “entlang des Zyklus” jeweils doppelt miteinander verbundener Knoten alle gleich sind.

    Falls die Dreiecks-Ungleichung entsprechend allgemein für alle je drei Punkte des Bildes gelten sollte, ist die Bogenlänge jeder (geschlossenen) Kurve entlang der 6 Knoten des im o.g. Bild erkennbaren Zyklus mindestens so groß wie das 6-fache des Abstands “von Knoten zu Knoten entlang des Zyklus”.

    Und sofern mit “Kreis” überdies die Vorstellung einer geschlossene Kurve verbunden ist, auf der keine drei Punkte zueinander gerade liegen, folgt insbesondere die entsprechende strikte Ungleichung.

    p.s.
    > […] den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis […]

    Gibt es “den” überhaupt ??
    Sofern in unserem Universum ein realer Kreis vorstellbar ist, oder zumindest geometrische Beziehungen vorstellbar (oder womöglich sogar auffindbar) sind, die denen eines (perfekten) Kreises in bestimmter Näherung nahekommen — dann warum nicht auch noch (mindestens jeweils “ein kleines Bisschen”) größer ?

  15. #15 Bernd Nowotnick
    16. Juli 2024

    #10
    String-Kopplungskonstanten auf einer Dimension als Skalarfelder bspw. mit
    π oder π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9…,
    wie auch 0 = 1/2 – 1/4 – 1/8 – 1/16 – …,
    oder ∞ = 1 + 2 + 3 + 4 + …,
    in diesen nulldimensionalen Punkten ist für mich analog einer Annäherung an diese komplexe Größe bzw. eine neue Dimension auf dem Ursprung π, 0 bzw. ∞ usw, als universeller Parameter der von der Position im Raum und der Zeit abhängt, siehe bspw. die Position eines Neutrinos in der Zeit gegenüber dem Beobachter.
    „Quarks sind keine Teilchen“ ist dann eher als Blickrichtung eines Beobachters zu deuten, denn ein Photon hat ja auch zwei oder mehrere Gesichter.

  16. #16 N
    16. Juli 2024

    Um aus dem Bannkreis der Taylor – Reihe zu kommen, braucht es schon etwas Geniales.
    Erinnert sei an die Fraktale, darunter die Mandelbrotmenge mit den Apfelmämmchen
    https://www.spektrum.de/kolumne/pi-ist-ueberall-auch-in-der-mandelbrotmenge/1996588

  17. #17 Bernd Nowotnick
    16. Juli 2024

    #16
    Es ist auch wenig hilfreich die Flucht in die Digitalisierung als Allheilmittel zu propagieren, denn auch alles vermeintlich Digitale ist zusammengesetzt aus variablen Unendlichkeiten https://www.scinexx.de/dossierartikel/ueber-die-unendlichkeit-hinaus/ .

  18. #18 Bernd Nowotnick
    16. Juli 2024

    #10
    „Der Isospin der Nukleonen oder die »Farbe« der Quarks drücken überhaupt keine Qualitäten in diesem Sinne mehr aus, sondern nur noch beliebig festgelegte Basiszustände beziehungsweise Richtungen in einem abstrakten Raum, die durch Symmetrietransformationen aufeinander bezogen werden.“
    -> Quantisierte Eigenschaften werden beispielsweise am Atom durch innere Symmetrien charakterisiert und können dann beim Messen Außen interpretiert werden.

  19. #19 N
    16. Juli 2024

    Bernd Nowotnick
    Mit Computern und dem passenden Algorithmus lassen sich viele Nachkommastellen von Pi. errechnen.
    Thilo hat wohl mehr vor. Er sucht einen alternativen Weg nicht über den Arcus-Tangens, sondern etwas Anderes.
    Bei der Berechnung von Fractalen geht man einen andere Weg, und darauf wollte ich hinweisen.

  20. #20 Bernd Nowotnick
    16. Juli 2024

    #19
    „Bei der Berechnung von Fraktalen geht man einen anderen Weg, und darauf wollte ich hinweisen.“
    Bei der Berechnung in Fraktalen kommt es dann wohl auf den Winkel des Beobachters bei der Berechnung und seinen Beweggrund, bspw. während der Messung vom Spannungsabfall, oder auch der Betrachtung im Ganzen des Fraktals, wo befinde ich mich innen wie außen, bzw. rechts und links vom =, also auf dem Weg der Hierarchie im Fraktal bei den Gleichsetzungen und Nullstellen.

  21. #21 Fluffy
    16. Juli 2024

    Zurück zum Thema:

    Ich bringe hier mal die Antwort, die ChatGPT auf Frage #8 gegeben hat:

    Q: Angenommen, ich lege ein Tau um den Äquator. Um wieviel Meter muss ich das Tau verlängern, damit eine Fliege drunter durch krabbeln kann? Welcher Genauigkeit von pi entspräche das?

    A. Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir zunächst den Umfang des Äquators der Erde. Der Umfang eines Kreises wird durch die Formel U=2πr beschrieben, wobei r der Radius des Kreises ist.

    Wenn wir das Tau um den Äquator legen, hat es die gleiche Länge wie der Umfang des Äquators, also 2πr.

    Nun wollen wir das Tau so verlängern, dass eine Fliege unter dem Tau durchkrabbeln kann. Angenommen, die Fliege benötigt eine Lücke von 1 cm (0,01 Meter), um durchzukrabbeln. Dann müssen wir das Tau um diesen Betrag anheben, was einem zusätzlichen Radius von 0,01 Meter entspricht.

    Der neue Umfang des Kreises, wenn das Tau um 0,01 Meter angehoben wird, ist U′=2π(r+0,01).

    Die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Umfang ist:
    ΔU=U′−U=2π(r+0,01)−2πr=2π⋅0,01=0,02π

    Das bedeutet, dass wir das Tau um 0,02π Meter verlängern müssen, damit eine Fliege drunter durchkrabbeln kann. Da π ungefähr 3,14159 ist, entspricht dies einer Verlängerung von:
    0,02π≈0,02×3,14159≈0,0628 Meter
    Die Verlängerung des Taus beträgt also etwa 6,28 cm.

    Genauigkeit von π:
    Um die notwendige Verlängerung des Taus genau auf 6,28 cm berechnen zu können, benötigen wir den Wert von ππ nur bis zur dritten Dezimalstelle (3,14), da dies bereits eine ausreichende Genauigkeit liefert:
    0,02×3,14=0,0628

    Somit entspricht die Genauigkeit von π zur Beantwortung dieser Frage mindestens der dritten Dezimalstelle.

    Für diesen Fall hätte ChatGPT bei mir sogar einen Turingtest bestanden.

  22. #22 N
    16. Juli 2024

    zu #21
    Die Aufgabe ist schon 50 Jahre alt und die hat chatGpt irgendwo gelesen.

  23. #23 Bernd Nowotnick
    16. Juli 2024

    #21
    „Angenommen, ich lege ein Tau um den Äquator. Um wieviel Meter muss ich das Tau verlängern, damit eine Fliege drunter durch krabbeln kann? Welcher Genauigkeit von pi entspräche das? … Die Verlängerung des Taus beträgt also etwa 6,28 cm.“
    In der Natur der Fraktale hilft uns das nicht viel weiter, bspw. gibt es auch im Stromkreis Oberwellen oder Transienten, so dass die Verlängerung des Taus, an der Stelle an der die Fliege durch möchte, schon mit 2cm auskommt.

  24. #24 Fluffy
    16. Juli 2024

    @#22
    Die Bemerkung, dass ChatGPT lesen kann, zeugt von einer klaren Vermenschlichung und heißt dass auch bei dir der Turingtest bestanden wurde, und du ihn für einen Menschen hältst.

  25. #25 Fluffy
    16. Juli 2024

    @#23
    Fraktale sind keine Bestandteile der Natur, so wie das Bild einer Tabakpfeife keine Tabakpfeife ist.

  26. #26 N
    16. Juli 2024

    #24
    Eine rom = read only memory meint genau das.

  27. #27 Joseph Kuhn
    17. Juli 2024

    @ Fluffy:

    Warum muss, wie ChatGPT meint, der Radius um 1 cm erhöht werden? Am Äquator auf der anderen Seite der Welt braucht man doch nicht auch einen Spalt von 1 cm. Reicht also 1 cm mehr Durchmesser?

  28. #28 rolak
    17. Juli 2024

    Die Aufgabe ist schon 50 Jahre alt

    Lief aber damals mit nem Dackel statt ner Fliege um – ganz abgesehen davon, daß analoge Aufgaben wesentlich älter sein dürften.

    eine rom

    Der NurLeseSpeicher schreibt sich ROM, ist sächlich – und meint etwas völlig anderes.

  29. #29 N
    17. Juli 2024

    #28
    Fluffy meinte ja, dass mit dem Wort “lesen” eine Vermenschlichung stattfinden würde.
    Müssen wir bei ROM (m,w,d) schreiben ?
    Im Englischen gibt es keine Geschlechter.

    Est stimmt natürlich, wenn google das web durchforstet nach Begriffen , dann ist die Bezeichnung “lesen” inkorrekt. Da gibt es sicher einen Fachbegriff für.

    Zurück zum Thema. an Pi haben sich die besten Köpfe den Kopf zerbrochen aber weiter sind wir prinzipiell noch noch nicht, wie auch bei den Primzahlen.

  30. #30 Fluffy
    17. Juli 2024

    @Joseph Kuhn #27
    Das ist völlig richtig.
    Aber ChatGPT hat die Aufgabe wesentlich besser verstanden, als ich sie aus Faulheit unzulänglich formuliert habe.
    Eigentlich müsste es heißen, “die Fliege kann an jeder Stelle drunter durch krabbeln”
    Durch diese nicht exakt wortwörtliche Interpretation der Frage, wie ich es von einem exakten Computer erwarten würde, wirkt diese KI noch “menschlicher” auf mich…. Turingtest

  31. #31 Joseph Kuhn
    17. Juli 2024

    @ Fluffy:

    Dann bin wohl ich mit meiner engen Interpretation der Aufgabe durch den Turingtest gefallen und vielleicht einer der ganz wenigen Wein trinkenden Computer.

  32. #32 N
    17. Juli 2024

    #30
    “wirkt diese KI noch “menschlicher” auf mich”
    hat sie dich auch geduzt ?
    Die Programmierer lernen halt auch dazu.
    Wenn man an einer Beschwerdestelle eine KI einsetzt, dann darf die keine Fehler machen, oder vielleicht gerade.
    Unser Thema heißt ja “Pi” , und so langsam hege ich den Verdacht, dass dieser Thread von einer KI geleitet wird. Beim Einleitungstext finden sich keinerlei menschliche bzw. gefühlsmäßige Äußerungen.
    Und der Wortlaut ist 1.1 aus Buchtexten übernommen.

    Bei F. ist es sonnenklar, der ist human. Und bei K. ist es auch sonnenklar, der Wein verrät ihn.

  33. #33 Fluffy
    17. Juli 2024

    @Joseph Kuhn
    👍 Das erscheint mir durchaus logisch und faszinierend.

  34. #34 Fluffy
    17. Juli 2024

    Sehr bemerkenswert ist das Buffonsche Nadelproblem*
    …………………..
    *Konkret bedarf es hier einer (weiterführenden) analytischen Fähigkeit einen Zusammenhang zu π herzustellen

    Für ein Verständnis des “sogenannten” Buffonschen Nadelproblems, “sogenannt”, weil es eigentlich keins ist, ist es völlig ausreichend, wenn man weiß, was das Integral von ArcCos(z) ist.

  35. #35 rolak
    18. Juli 2024

    was das Integral von ArcCos(z) ist

    Bei dem Fall ist nur eine Antwort hochwahrscheinlich, Fluffy: ‘Falsch!!!eins11’

  36. #36 Fluffy
    18. Juli 2024

    Wenn du
    das befördern willst, Rolak, … man kann auch aus einer Mücke einen Elefanten machen, haben ja beide einen Rüssel.

    Die Formel für Buffon (nicht der Torwart)

    1-\int_0^1 \frac{\pi -\cos ^{-1}(1-z)-\cos ^{-1}(z)}{\pi } \, dz=\frac{2}{\pi }

  37. #37 Dirk Freyling
    Erde
    18. Juli 2024

    »Fluffy«,
    eine für das reine Zähl-Ergebnis nachträgliche mathematische “Aufarbeitung”, welcher Art auch immer klärt, nicht den Sachverhalt im Sinne einer phänomenologischen Erklärung. Des Weiteren: Welchen Sinn macht hier Deine angebene Gleichung, die bereits im Integral Pi enthält?

  38. #38 Fluffy
    18. Juli 2024

    Ӝ Dirk Freyling Ӝ
    Die Frage lautet doch, warum hat das Buffon-Experiment etwas mit π zu tun. Die Antwort lautet, weil die Nadel, wenn sie mit Spitze aufgekommen ist, noch einen vollen Kreis (2π) mit der anderen Spitze absolvieren kann.
    Du kannst zählen soviel du willst, ohne diese doch relativ einfache mathematische Betrachtung weißt du nicht, dass das Ergebnis 2/π ist. π ist nämlich anders definiert.

  39. #39 Dirk Freyling
    Erde
    18. Juli 2024

    »Fluffy«,
    ohne große Mathematik lässt sich pi mit Seilen bestimmen, wenn man die Kreisform vorgibt. Seil mit Länge r straff ziehen und entlang des Weges ein zweites Seil (l in Abhängigkeit von r) legen. Dann ergibt sich pi “experimentell” zu pi=l/2r ohne weitere Mathematik. Der wahrnehmbare, offensichtliche Unterschied zum Buffonschen Nadelexperiment ist, das pi in Abhängig von (l zu r), als direkt gewünschtes Ergebnis angestrebt wurde. Die Kreisgeometrie ist Grundlage des Experimentes. Nadeln und parallele Linien sind unerwartet “intellektuell” was anderes.

  40. #40 rolak
    19. Juli 2024

    klärt, nicht den Sachverhalt

    Wie gesagt, Fluffy…

    btw schönen Dank für die TeX-isierung, wollte eh gleich nachblättern, wo diese Umsetzung ins HTMLische verfügbar ist.

  41. #41 N
    19. Juli 2024

    eine Lösung für Spieljockel.
    Man baue mit seiner elektrischen Eisenbahn einen Kreis mit einem Durchmesser von 2m.
    An einer Stelle ist eine Weiche, an der ein gerades Schienenstück von 2m abgeht.

    Und jetzt braucht man eine Uhr. Lasse die Lock einmal im Kreis fahren und miss die Zeit.
    Dann lasse sie wieder im Kreis fahren, aber an der Weiche dann geradeaus. Die Zeit für die Geradeausfahrt musst du auch messen.
    Wer einen Garten hat und eine Lehmann Bahn macht das Gleiche mit einem Kreis von 10 m Durchmesser.
    Und jetzt brauchst du nur vergleichen..

  42. #42 Frank Wappler
    19. Juli 2024

    Dirk Freyling schrieb (#18, 18. Juli 2024):
    > ohne große Mathematik lässt sich pi mit Seilen bestimmen,
    > wenn man die Kreisform vorgibt.

    Und das ist ja schon an sich “nicht ganz ohne …” … gewissen (konzeptionellen und experimentellen) Aufwand zu haben.

    > Seil mit Länge r straff ziehen

    Sofern sich “Länge r” auf einen Versuch vor (oder nach) dem “[Seil um die Kreisform wickeln und] straff ziehen” bezieht — und sicherlich ist das so, denn ansonsten müsste wohl eine Messmethodik eingesetzt worden sein, mit der sich “Länge des Umfangs der Kreisform” unmittelbar feststellen ließe:
    Wie auxetisch war denn das betreffende Seil, in den betreffenden Versuchen, Fall für Fall ??

    (Und hoffentlich gibt die “vorgegebene Kreisform” beim Straffziehen des Seils nicht allzu sehr nach. …)

    > und entlang des Weges ein zweites Seil (l in Abhängigkeit von r) legen. Dann ergibt sich pi “experimentell” zu pi=l/2r […]

    Den reellen Verhältniswert der Längen zweier (entlang einander liegender aber) ungleich langer Seile ausdrücklich zu bestimmen (um diesen ggf. mit anderen reellen Werten vergleichen zu können) ist wohl auch “nicht ganz ohne”.

    Je genauer dabei jeweils der Wert herauskäme, den Sowas hat, um so weniger Aufwand wäre wohl insbesondere für die sogenannte “Nachbereitung” der Durchführung des beschriebenen Experimentes erforderlich. …

  43. #43 Dirk Freyling
    Erde
    19. Juli 2024

    Herr Wappler,
    es geht in der “experimentellen Anordnung” nicht um Präzesionsmessungen, sondern um “etwas” von jedermann ohne großen Aufwand Durchführbares. Es geht um vergleichende Anschauung… Den phänomenologischen Unterschied einen Kreis respektive deren Geometrie vor Augen zu haben, der im Buffonschen Nadelexperiment weder beabsichtigt ist noch erscheint. Und das in beiden Fällen pi Teil des Vergleichenden ist.

  44. #44 N
    19. Juli 2024

    Bemerkenswert ist auch, dass es im Weltraum kaum kreisförmige Bahnen gibt, stattdessen Ellipsen.
    Die Planeten dagegen haben eine Kreisform.

  45. #45 Fluffy
    19. Juli 2024

    In der tiefgründigen Untersuchung der phänomenologischen Perspektive offenbart sich die Koinzidenz von subjektiver Wahrnehmung und objektiver Realität als ein unvermeidbares Paradoxon des menschlichen Daseins.

  46. #46 Frank Wappler
    20. Juli 2024

    Dirk Freyling schrieb (#43, 19. Juli 2024):
    > […] Es geht um […]

    Also offenbar nicht um “die experimentelle Bestimmung (des Wertes) der Kreiszahl; mit welcher Genauigkeit#Richtigkeit auch immer”.
    (Und dass es darum nicht geht, darum ging’s mir im obigen Kommentar #42 ganz wesentlich.)

    > […] einen Kreis respektive [Kreis-]Geometrie vor Augen zu haben, [… im Unterschied zum] Buffonschen Nadelexperiment

    (Ich bestätige, dass ich schon beim gestrigen ersten Lesen des obigen Kommentars #39 verstanden hatte, dass es darin wesentlich darum ging, einen solchen Unterschied darzulegen. Und ich bitte um Entschuldigung, dass ich dabei versehentlich Kommentar #18 erwähnt hatte.)

    Naja — was beim Buffonschen Nadelexperiment relevant sozusagen “vor Augen liegt” ist nun mal jeweils der Winkel zwischen Nadelachse (nachdem sie endgültig liegt) und jeder der gegebenen parallelen Geraden (auch falls die Nadel gerade nicht darauf liegt);
    mit Wertebereich (für alle Versuche) von Null bis zu

    – (im engsten Sinne) einem (nicht ganz zufällig so genannten) “Viertelkreis”, bzw.

    – (sofern “Winkel” mit bestimmtem “Drehsinn” verstanden wird) einem “Halbkreis”, bzw.

    – (sofern man der Darlegung im obigen Kommentar #38 folgt) einem “vollen Kreis”.

    Von “Umfang” oder “Radius” oder “Durchmesser” ist in keinem dieser drei genannten Fälle ausdrücklich die Rede — darin besteht also ein Unterschied insbesondere zur Auffassung bzw. Definition der “Kreiszahl” als “Verhältnis von Kreis-Umfang und Kreis-Durchmesser”. Aber es wäre wohl ein Leichtes, sich den Zusammenhang “vor Augen zu führen”. …

  47. #47 wereatheist
    20. Juli 2024

    π (oder meinethalben τ/2) durch Messungen bestimmen zu wollen, und sei es auch nur zur “Veranschaulichung” für (special ed?) Schüler, ist des Teufels:
    Wer misst, misst Mist.
    Und es ist schon vor langer Zeit oft boese schief gegangen:
    I. Kön. 7, 23 und II. Chron. 4, 2

  48. #48 Jolly
    20. Juli 2024

    @N

    Die Planeten dagegen haben eine Kreisform.

    Sie sind Flacherdlerplanetler?

  49. #49 Dirk Freyling
    Erde
    20. Juli 2024

    N, “Bemerkenswert ist auch, dass es im Weltraum kaum kreisförmige Bahnen gibt, stattdessen Ellipsen.”

    Die Kreisbahn als Resultat einer Wechselwirkung ist eine Idealisierung zum Grundverständnis, wie Kräfte wirken… Reale, kosmische Kreisbahnen sind ausgeschlossen.
    Gedankenexperiment: Zum Verständnis eine Zweikörpersituation ohne Anfangsimpulse: Stellen wir uns zwei in Ruhe befindliche Massen mit sehr wenig Ausdehnung und einem Abstand zwischen diesen vor. Was würde geschehen? Die Massen würden sich gemäß Gravitationswechselwirkung geradlinig sprich auf kürzesten Weg aufeinander beschleunigt zu bewegen und kollidieren. Das bedeutet, ohne Anfangsimpulse kommt es, bei anziehenden Kräften, grundsätzlich zur Kollision. Was dann geschieht, hängt von den inneren Strukturen und den Objektausdehnungen ab.
    Sobald Anfangsimpulse nicht nur in Richtung der wechselwirkenden Massenschwerpunkte existieren kommt es entweder zu Kollisionen oder zu ellipsenförmigen Bahnen. Die Massen kollidieren nicht, sondern “schießen” dann aneinander vorbei und bilden eine stabile Ellipsenbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt.
    Ergänzend weitergedacht…
    Rotation makroskopischer Vielteilchensysteme
    Die makroskopische Eigendrehung ist im Rahmen der klassischen Physik plausibel nachvollziehbar. Kosmologisch kann es, bedingt durch den Entstehungsprozess beliebiger Vielteilchenkörper mit konkreten Anfangsimpulsen unter Einwirkung der Gravitation, bei genauer Betrachtung keine rotationsfreien Gebilde geben.
    Übrigens: In unserem Sonnensystem bewegen sich die Planeten nicht um die Sonne, sondern um den gemeinsamen Schwerpunkt (Stichwort: Baryzentrum).

  50. #50 N
    20. Juli 2024

    “offenbart sich die Koinzidenz von subjektiver Wahrnehmung und objektiver Realität als ein unvermeidbares Paradoxon des menschlichen Daseins als Flachplanetler”
    Ist das noch philosophisch oder schon prophetisch ?
    Was die Kreisform betrifft, wenn man eine Kugel durchschneidet, dann hat ihr Querschnitt eine Kreisform.

    Stichwort: Baryzentrum
    Frage, eine Person genau im baryzentrum, dreht die sich mit ? Überhaupt, dreht sich der Drehpunkt oder nicht ?

  51. #51 Bernd Nowotnick
    20. Juli 2024

    #23
    Wieso sollen Fraktale nicht Bestandteil der Natur sein, Nirwana (0) entspricht auch seiner Annäherung (1/2 – 1/4 – 1/8 – 1/16 usw.). Wo ist festgelegt dass Fraktale in der Natur nicht vorkommen?
    #50
    „dreht sich der Drehpunkt oder nicht?“ Alles entspricht in irgendeiner Weise seiner Annäherung, das Zentrum oder auch irrationale Zahlen.

  52. #52 N
    20. Juli 2024

    Bernd Nowotnick
    Fraktale sind Bestandteile unserer Welt. Wo denn sonst !

    Was den Drehpunkt betrifft, hier eine gut durchdachte Aussage aus dem Internet.
    “Philipp, Oberhausen   Der exakte Mittelpunkt einer Rotation kann sich nicht drehen, da er den Wert 0 besitzt. Geht man z.B bei einem Kreis von der Formel v=2*Pi*r/T (Geschwindigkeit=zwei*Pi*Radius/Umlaufzeit) aus, ist r=0 (ansonsten wäre es ja nicht der exakte Mittelpunkt) => 2*Pi*r=0 => v=0. Allerdings folgt daraus ebenfalls, dass T=0 ist. Dies hat zur Folge, dass diese Gleichung undefiniert ist. Somit ist eine exkte Aussage nicht möglich.

  53. #53 Bernd Nowotnick
    20. Juli 2024

    #52
    „Der exakte Mittelpunkt einer Rotation kann sich nicht drehen, da er den Wert 0 besitzt.“
    So einfach ist das nicht: Wenn man beispielsweise den Mittelpunkt vom Erde – Mond – System global betrachtet sieht es in der Zeit schon anders aus – und er dreht sich doch.

  54. #54 N
    20. Juli 2024

    Bernd Nowotnick,
    Mathemtisch betrachtet, kann sich der Mittelpunkt nicht drehen.
    Physikalisch betrachtet lässt sich die Frage nicht beantworten, denn zwischen den Himmelkörpern befindet sich ein Gravitationsfeld. Und jetzt stellt sich die Frage, dreht sich das Gravitationsfeld mit oder nicht ?
    Und wenn der Mittelpunkt zum Gravitationsfeld gehört, dann dreht sich das Baryzentrum mit.

  55. #55 Bernd Nowotnick
    21. Juli 2024

    #54
    Wenn man mathematisch ein anderes Bezugssystem wählt, bspw. bei den Zahlen von 0 bis unendlich die Mitte bei 1, kommen wir beim mathematischen Punkt 0 bzw. auch 1, sowie 2, 3, 4 usw. zu einer Richtung auf einem mathematischen Punkt.

  56. #56 N
    21. Juli 2024

    “Wenn man mathematisch ein anderes Bezugssystem wählt, bspw. bei den Zahlen von 0 bis unendlich die Mitte bei 1,”

    das würde voraussetzen, dass Unendlich eine endliche Größe hätte, was zu einem Widerspruch führt.

    wir können aber den Zahlenstrahl nach links verschieben, so dass Pi der Nullpunkt wird. Und der Nullpunkt liegt jetzt im Abstand von Pi links vom neuen Zentrum.
    Dann ziehen wir einen Kreis um Pi , wie bei der Gausschen Zahlenebene und jeder Punkt auf diesem Kreis hat den Abstand Pi zum Zentrum.
    Und jetzt…….jetzt mache ich eine Pause, jetzt sollen die Freaks von der Mathefraktion mal ran, aber die sind vielleicht noch geschwächt nach dem Pink Konzert am Freitag in S.

  57. #57 Bernd Nowotnick
    21. Juli 2024

    #56
    Besser ln(x), https://studyflix.de/mathematik/ln-funktion-1910
    kann man auch verschieben.

  58. #58 N
    24. Juli 2024

    Bernd Nowotnik
    Pi hängt mit e zusammen, aber dann sind wir wieder bei den unanschaulichen Differentialgleichungen , von denen ich denke,, dass nur 1% der Bevölkerung so eine Gleichung erklären kann.
    also machen wir mal etwas anderes. Wie würde ein Computerprogramm pi berechnen ohne e zu benützen.

    Mein Vorschlag, wir nehmen die Kreisformel x² + y² = r²
    Und wir berechnen zuerst von x = 0 bis x = 1 ganz viele y Werte,
    die Punkte( x,y) liegen alle auf dem Viertelkreis.
    Und jetzt addiert der Computer die Abstände zwischen den Punkten. Fertig !
    Damit haben wir Pi/4.

  59. #59 N
    24. Juli 2024

    Korrektur : Damit haben wir Pi/2.
    Ja, der Fehlerteufel ist immer und überall.

  60. #60 Jolly
    25. Juli 2024

    @N

    Pi hängt mit e zusammen, aber dann sind wir wieder bei den unanschaulichen Differentialgleichungen

    Sie halluzinieren.

  61. #61 N
    25. Juli 2024

    Jolly
    Korrektur: es muss heißen Integralgleichungen.
    Und den Zusammenhang bei der Eulerschen Relation wirst du doch nicht leugnen.

  62. #62 Jolly
    25. Juli 2024

    @N

    es muss heißen Integralgleichungen

    Nein, muss es nicht.

  63. #63 Jolly
    25. Juli 2024

    @N

    Und den Zusammenhang bei der Eulerschen Relation wirst du doch nicht leugnen.

    Den offensichlichen Zusammenhang der drei genannten Dinge würde ich nie leugnen, der da ist, dass Sie nichts verstehen von a) der Eulerschen Relation, b) Differentialgleichungen sowie c) Integralgleichungen.

    Immerhin, Sie scheinen die Begriffe schon mal gehört zu haben.

  64. #64 N
    25. Juli 2024

    Jolly,
    die Berechnung von Pi kann man in jeder Formelsammlung nachlesen.
    Was wollt ihr also ?

    Ich möchte die Berechnung von Pi verständlicher machen, ohne den arcustangens. Streng genommen stimmt das natürlich nicht, es reicht wenn man den Begriff Tangens nicht verwendet und mit der Abstandsformel der analytischen Geometrie arbeitet.

    Sachlich hast du dich noch gar nicht zu meinem Vorschlag geäußert, nur an den Bezeichnungen herumgemäkelt.
    Nenne es Pi für Dummies !

  65. #65 Jolly
    25. Juli 2024

    … und noch d) arcustangens

    @N

    Ich nenne es Pi von Dummies!

  66. #66 Fluffy
    26. Juli 2024

    @Jolly

    Was soll man von jema@Ndem erwarten, der nicht mal die Frage beantworten kann, ob π die Lösung einer quadratischen Gleichung sein kann ….

  67. #67 N
    26. Juli 2024

    Fluffy
    Pi = O/d²
    Auf diesem Niveau werden wir uns nicht weiter unterhalten.
    Tschüss!

    Jolly
    natürlich von Dummies.
    Für wen macht denn Scienceblogs solche Beiträge. Nicht für Leute die schon alles wissen. Die Zielgruppe sind Leute, die etwas dazulernen wollen.

  68. #68 Fluffy
    26. Juli 2024

    Und (@N)atürlich auch für Leute, die (@N)ichts dazulernen wollen.

  69. #69 N
    26. Juli 2024

    Fluffy
    Und Nichts haben wir auch bei der neuen indischen Formel zu Pi dazugelernt und Niemand hat einen Kommentar dazu abgegeben.
    Es liegt am Sommerloch.

  70. #70 Bernd Nowotnick
    26. Juli 2024

    #69
    „Und Nichts haben wir auch bei der neuen indischen Formel zu Pi dazugelernt – Pi = 4+…“
    Wenn wir den mathematischen Punkt als innen hohl und bspw. mit dem Inhalt eines Teils einer Linie in Seitenansicht betrachten ist der Winkel in dem dieser Punkt von der Tangente geschnitten wird entscheidend, der dann zur Differenz dieses Punktes beiträgt.
    https://www.scinexx.de/dossierartikel/ueber-die-unendlichkeit-hinaus/
    Die Unendlichkeit existiert in vielen Hierarchien. Mit dieser Bauweise ist abgesichert dass die Natur überall stetig, unendlich und selbst in schwarzen Löchern nicht negativ ist.

  71. #71 N
    27. Juli 2024

    B.Nowotnick
    heute beschäftigen wir uns nicht mit Sommerlöchern, auch nicht mit schwarzen Löchern, wir werden ganz konkret und bohren Löcher in Holzkugeln.
    Was wir dabei über Pi lernen, das ist unglaublich.

    Also , wir haben eine Holzkugel mit einem Durchmesser von 1 m.
    In die wollen wir ein Loch bohren mit einer Länge von 1m.
    Geht das ?
    Wir probieren es. Ein 20 cm Bohrer und fertig ist das Loch. Aber Überraschung , als wir das Loch in der Länge nachgemessen haben, war es kürzer als 1 m,
    und es sollte doch 1 m lang werden.
    Klar, beim Bohren einer Kugel geht die Kugelkappe verloren und das Loch wird kürzer.
    Nur wenn wir beim Bohrer den Radius 0 wählen, dann
    hat das Loch die Länge 1m.
    Aber das gute dabei, wir haben keinen Verlust beim Holz zu beklagen.
    Das virtuelle Bohrloch hat das Volumen 0
    Die Holzkugel hat das Volumen 4/3 Pi mal r³.
    Bei einem Radius von r =1/2 bekommen wir als Volumen der Kugel 1/6 Pi.

    Fazit: In eine Kugel mit 1m Durchmesser kann man kein Loch bohren mit 1m Länge.
    Wir müssen also die Kugel größer machen .
    Und dann wollen wir konkret den Abfall berechnen, der beim Durchbohren abfällt, Und dabei
    entdecken wir etwas ganz Seltsames.
    Fortsetzung nur wenn gewünscht.

  72. #72 Bernd Nowotnick
    27. Juli 2024

    #71

    Lustiger ist es doch wohl in der Größenverschiebung das 1m Bohrloch (Strom) im Punkt und Bann eines Informations- bzw. Magnetfeldes mit magnetischem Bohrer viel kleinerem Durchmessers im goldenem Schnitt durch den Punkt und dabei seinen Abfall (Spannung) zu betrachten.

  73. #73 N
    27. Juli 2024

    B.Nowotnick
    noch lustiger wird es, wenn wir ein Bohrloch durch die ganze Erde bohren. Mathematisch ist das möglich und dabei zeigt sich die Majestät Mathematik zusammen mit ihrer Königin, der Zahl Pi.
    Soweit sind wir noch nicht.

  74. #74 Bernd Nowotnick
    27. Juli 2024

    #73

    Ein Punkt in der Natur ist mathematisch hohl da in ihm Informationen wie beispielsweise 0=c^2•ε•μ-1 in Ursache, Vermittlung und Wirkung inkl. Wirkungsgrad auf Werte wie etwa einer elektrischen Ladung enthalten sind und mit ihnen gerechnet werden kann, so dass wir die Punkte entsprechend in der Zeit auch komplex nach Pi verschieben können.

  75. #75 N
    27. Juli 2024

    Bernd Nowotnick,
    Pi ist mehr als ein Punkt auf einer Zahlengeraden.
    Was genau ?
    Also hier mal was Besonderes.

    Einfache Formel für Pi ohne Maßeinheiten

    V (Kugel) – V(Kreiszylinder) – 2 V(Kugelsegment) = Pi / 6

    Bedingung: h (Kreiszylinder ) = 1

    Der Kreiszylinder durchdringt die Kugel wie ein Bohrloch.
    Dadurch fallen die beiden Kugelsegmente oben und unten an der Kugel weg.

    Zum Nachrechnen:
    1. Kugel V = 4/3 Pi mal r³
    2. Kreiszylinder V = 2 Pi rz² mal 1
    3. Kugelsegment = 1/3 Pi hk²(Kugelsegment) (3 r- hk(Kugelsegment))

    Für den Radius des Bohrloches rz gilt diese Formel r ²(Kugel) = rz² + (1/2)² folglich rz² = r² – ¼

    Jetzt die gesamte Formel

    4/3Pi r³ – pi rz² mal 1 – 2/3 Pi hk² (3r – hk)
    hk = Höhe des Kugelsegmentes

    Für hk gilt = r – ½ , und rz ² = r² – ¼

    In der Formel bleiben also nur noch r und Pi übrig.

    4/3 Pi r ² – Pi (r² – ¼) – 2/3 Pi (r – (1/2)² ( 3 r – (r – ½))

    Und wenn man diesen Ausdruck auflöst bleibt nur Pi/6 übrig.
    Und das ist der Rest, wenn man eine Kugel beliebigen Radiusses durchbohrt. Der Kreiszylinder der dabei entsteht, der muss die Höhe = 1 haben.

    Also, selbst wenn man die Erde durchbohrt und das Loch nicht tiefer sein darf als h = 1, dann bleiben von dem Erdvolumen nur Pi/6 übrig.
    Der Bohrer ist dann massig dick , also ungefähr 12756 km, aber es bleibt ein dünner Rand der Erdoberfläche stehen mit dem V = Pi/6

  76. #76 Bernd Nowotnick
    29. Juli 2024

    #75

    Ein mathematischer Punkt sieht anders aus wenn er physikalisch oder gesellschaftlich betrachtet wird. Er ist mathematisch hohl bedeutet somit dass Pi auf einem Hintergrund im Bildbereich auf jeden beliebigen Punkt verschoben werden kann. Es kommt dabei nur auf den Beobachter und die Gesetze wie Informationen, vorwärts, rückwärts, hoch, runter, rechts, links oder Winkel usw. an, die er beachten muss, auch wenn es Pi/6 ist.