Pflasterungen

Dieses Bild aus der Arbeit zeigt, wie polygonale Parkettierungen zu weichen Parkettierungen gemacht werden können.

Weder die Ebene noch der Raum können auf stetig differenzierbare Weise parkettiert werden: die Autoren zeigen, dass die Teile einer Parkettierung der Ebene bzw. des Raumes mit dreieckigen bzw. tetrahedralen Teilen immer mindestens drei bzw. mindestens vier spitze Ecken haben müssen. Allgemeiner müssen bei einer Parkettierung der Ebene die Teile immer mindestens zwei spitze Ecken haben. Überraschend zeigen die Autoren aber, dass man für Parkettierungen des Raumes die spitzen Ecken häufig vermeiden kann.

Der Hauptsatz der Arbeit besagt:

Let M be a balanced, normal convex tiling and let V(M) denote the set of the duals of vertex polyhedra in M. If every polyhedron P in V(M) has a Hamiltonian circuit, then there exists a soft polyhedric tiling M‘ which is combinatorially equivalent to M.

Die Autoren glauben, dass man diese Bedingungen noch abschwächen kann und dass vermutlich sogar gilt:

Let M be a balanced, normal, convex tiling. Then, there exists a combinatorially equivalent, soft polyhedric tiling ⁠M‘.

Der Artikel im Standard erklärt, dass die rundesten Lösungen dazu tendieren, flügelartige Ausformungen zu entwickeln, und dass diese Formen sich auch in der Natur finden: