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Von Thilo / 6. Mai 2025 / 9 Kommentare / Seite 3 von 3 / Auf einer Seite lesen

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Kommentare (9)

#1 Dirk Freyling
Erde
7. Mai 2025

Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem SPIEGEL-Kommentar und dem Artikel über mathematische Gleichungen, abseits von Trump-Bashing. “Statt strategische Sektoren zu identifizieren, schaut Trump vor allem auf die Handelsüberschüsse der jeweiligen Länder im Warenverkehr. Doch will der Mann im Weißen Haus wirklich, dass Amerikaner künftig für den Sportartikelhersteller Nike Turnschuhe nähen?”
Kombinatorisch sei hier am Rande auf Folgendes hingewiesen:
Es fällt schwer zu glauben, dass der SPIEGEL-Artikel-Autor auch nur einen Schimmer von Kombinatorik inne hat. Was Donald Trump auch immer macht, richtig oder falsch, wird im Kern von “Hintermännern des Kapitals” entschieden. Trump ist “lediglich” die medienwirksame Kultfigur fürs Volk. Weder Trump, noch irgendein amerikanischer Präsident vor ihm, waren “Politikbestimmer”. Was Trump jedoch gegenüber seinen Vorgängern auszeichnet, ist seine extreme mentale Stärke. Diese hat ihn wieder (zurecht) ins Weiße Haus gebracht. Er ist jedoch weder tiefreligiös noch unabhängig. Er inszeniert seine Religiosität, genauer spielt seine Religiosität, wie ein sehr guter atheistischer Schauspieler, denn ohne die Wählerstimmen der Gottgläubigen wäre er nie Präsident geworden. Ohne Vertreter des “Kapitals” zu sein, wäre er nie in die Position gekommen, Präsident zu werden. Die neuen Zollbestimmungen sind nicht Trumps Forderungen, sondern die Forderungen amerikanischer Großkapitalisten.

Darüber hinaus, angewandte (brauchbare) Mathematik wird heute nur noch von Asiaten geliefert. Siehe die Namen unter »scientific papers«

Und in Deutschland?
Nun, ein Beispiel:
Thomas Royen ist ein deutscher Statistikprofessor, der 67-jährig und bereits vier Jahre im Ruhestand „verweilend“, in 2014 unerwartet die so genannte Gaußsche Korrelationsungleichung bewiesen hat: …Das Verblüffende an Thomas Royen’s Beweis ist, dass er klassische Methoden nutzt, die im Grunde jeder Mathematikstudent verstehen kann. Der Beweis ist nur wenige Seiten lang…
Auch nach seinem letztendlichen Veröffentlichungserfolg ärgerte sich Royen noch lange im Hinblick auf die Tatsache, dass die etablierten Wissenschaftsjournale seine Arbeit ignorierten.

Hintergrund: Es gab diverse Mathematiker, die jahrzehntelang vergeblich versuchten den Beweis zu erbringen. Da sich Royen eher (out of the box) am Rande der mathematischen Fachkreise aufhielt, konnte er offensichtlich ergebnisoffener als seine Fachkollegen das Problem der Beweisführung angehen. Seine diesbezügliche Erstveröffentlichung wurde jedoch inhaltlich ignoriert, da diese nicht der gängigen Gestaltungsform entsprach. Erst als andere Mathematiker auf seinen Beweis aufmerksam wurden und in die normierte Veröffentlichungsform „transformierten“, wurde die Arbeit ernst genommen.

…viel einfacher als »Alle« behaupte(te)n

Übergeordnet wichtig ist hier der Hinweis, dass Royen exemplarisch das mittlerweile größte Problem der westlichen Wissensentwicklung – insbesondere im Rahmen Theoretischer Grundlagenforschung – exemplarisch offenlegt. Die etablierten Denkkonzepte lassen keinen Freiraum für zielführend einfache Gedanken. Die Standardtheoretiker denken und handeln so, als ob die von ihnen gewählten hochkomplexen, komplizierten Denkansätze alternativlos seien. Sie sind letztendlich nicht nur umgangssprachlich dumm, sie sind auch arrogant und ignorant. Diese Erwartungshaltung gepaart mit destruktiv emotionalen Charaktereigenschaften ergeben eine fatale Mischung für den »Wissensbetrieb«.
Da Aufklärung mit direkten Linkhinweisen eher unerwünscht sind, ein indirekter Hinweis in Form des Suchstrings
»Dirk Freyling Ein überfälliges Rendezvous mit ursächlicher Rationalität«

Es werde Licht,
sonnige Grüsse,
Dirk Freyling
#2 Bernd Nowotnick
7. Mai 2025

Zu „Was Donald Trump auch immer macht, richtig oder falsch, wird im Kern von “Hintermännern des Kapitals (der Beobachter)” entschieden. … Es werde Licht“ oder zu „Zehn der beeindruckendsten mathematischen Formeln der Mathematik“:
Die einzige Kuriosität warum sich „scheinbare Zufälle“ ereignen, auch n-1 Effekte (Tsunami) und Brüche oder Ablenkungen aus Killing-Vektorfeldern seitlich oder auch spiegelbildlich sind Identitäten wie „Du bist nicht mehr da wo du warst, aber du bist überall wo wir sind.“, Victor Hugo. Die lebendige Kraft der Beobachter also der Teilchen v^2=G(M+m)(2/r−1/a) drückt die Gemeinsamkeit aus. Wir wissen aus der SR als Bildbereich wie zentral der Impuls eines Beobachters für ein Verständnis der Bewegung ist. Wir wissen aber auch wie wichtig die in der Bewegung steckende Energie ist. Die Geometrie der Killing-Vektorfelder erzeugt die Isometrie der AR als Hintergrund in Form der Energie der Gleichförmigkeit und dem Impulsinhalt bzw. Drehimpuls in dem die Anpassungen der SR, also die Anpassungen aus dem Bildbereich der Messungen eingehen, wobei im Hintergrund Krümmungseffekte einbezogen und die Schwerkraft in den Lageenergien besteht, aber auch auf Grund der Eingriffe aus dem Bildbereich gestört werden können welche anschließend wiederum in den Hintergrund übernommen werden.
#3 Frank Wappler
https://Classification.of.timelike.congruences.through.their.null-strut.relations
7. Mai 2025

Thilo schrieb (6. Mai 2025):
> […] Zölle Die unten abgebildete Formel
[ https://i2.wp.com/scienceblogs.de/mathlog/files/2025/05/IMG_3557.jpeg?ssl=1 ]

${\displaystle{ \Delta \tau_i = \frac{x_i - m_i}{\varepsilon \ast \varphi \ast m_i} }}$

> diente Anfang April zur Berechnung der neuen Zölle eines Landes bei Einfuhren in die USA.

Ganz recht.

> Dabei bezeichnete $x_i$ die Exporte des Landes in die USA und $m_i$ die Importe des Landes aus den USA.

Als Auffrischung vorausgegangener Hinweise und Vertiefung dokumentierter Kenntnisnahme und Einsichten (10. April 2025) sei hiermit an den Original-Text der damals (Anfang April 2025) vorgelegten »offiziellen Mitteilung« erinnert (die inzwischen offenbar der Link-Verrottung anheim gegeben wurde):

let $m_i > 0$ represent total imports from country $i$ [ into the US ], and let $x_i > 0$ represent total exports [ from the US to country $i$ ].

p.s.
> Die Stokes-Formel […] $\int_M {\rm d}\omega = \int_{\partial M} \omega$ […] man muss nämlich wissen, was das $\rm d$ in der Formel bedeutet und was eine Differentialform ist und wie man sie integriert. […]

Genau das selbe hat Thilo auch schon am 19. Juni 2018 geschrieben.
Hätte Thilo die vergangenen 7 Jahre besser damit genutzt, eine öffentlich auffindbare und wie gewohnt kommentierbare »Schreib’ doch bitte mal was zu… «-MathLog-Seite einzurichten und nach Gutdünken wiederum kommentierbar zu beantworten (ja womöglich sogar per ScienceBlog-Gast-Beiträgen beantworten zu lassen) — dann könnte mich jedenfalls ein Integral-Symbol ohne anschließendes $\rm d$ (d.h. wie auf der rechten Seite der Stokes-Formel) jetzt weniger stören …
#4 Thilo
8. Mai 2025

Der Zusammenhang ist, dass die Entscheidung für Zölle scheinbar auf Basis einer mathematischen Formel gefällt wurde, in Wirklichkeit aber eine politische Entscheidung ist. Offensichtlich geht es darum, ins Ausland verlagerte Industriearbeitsplätze wieder zurück in die USA zu holen. In Wirklichkeit ist es aber sehr unwahrscheinlich, dass US-Amerikaner wirklich wieder Turnschuhe oder Hosen nähen wollen. Deshalb wird die Gleichung nicht aufgehen.
#5 Robert
8. Mai 2025

Das Problem fängt doch schon damit an, dass Dienstleitungen nicht mit einberechnet werden, insbesondere im Bereich des Internets. Das ist doch offensichtlich, worin Amerikaner gut sind und was sie tun wollen.

Bei der Basler-Formel wird übrigens recht gut deutlich, dass Pi keineswegs die “Kreiszahl” ist, sondern eine Zahl zum Lösen unendlicher Reihen. Nur dass die Kreisfläche und ihr Umfang eben auch das Ergebnis solcher Reihen sind.
#6 Frank Wappler
8. Mai 2025

Thilo schrieb (#4, 8. Mai 2025):
> Der Zusammenhang ist, dass die Entscheidung für Zölle scheinbar auf Basis einer mathematischen Formel gefällt wurde, in Wirklichkeit aber eine politische Entscheidung ist.

Der Zusammenhang ist auch, wie Ersteres (vor allem) in einem ScienceBlog vorgestellt und zur Kommentierung gestellt ist.

Und wer sein Gedächtnis nicht mit Beschreibungen von Begriffen und Formelzeichen belasten mag, die mal in einem Dokument der zweiten Trump-Administration auftauchten, kann (und sollte womöglich) sich anhand der Wikipedia-Artikel zu Elasticity (economics), $\varepsilon$ ; insbesondere des Import-Volumens bzgl. Import-Preisen und Pass-through (economics) $\varphi$ ; insbesondere von Zoll-Erhöhungen auf Import-Preise trotzdem informieren.

Das könnte sogar einer Erwartung Seriosität (Prüfbarkeit) verleihen, dass “die Gleichung nicht aufgehen wird”. …

p.s.
Je nachdem, wie oft die relevanten Werte $x_i$ bzw. $m_i$ erhoben würden (vermutlich: höchstens Quartals-weise) könnte die o.g. Formel eine Reihe von (die vergleichbar häufig vorzunehmenden) erneuten Berechnungen und entsprechenden “Aktualisierungen (der Zölle)” beschreiben.

Das genauer auszuklamüsern wäre vermutlich zu sachlich-düster-mathematisch …
#7 Frank Wappler
21. Mai 2025

Noch ‘ne (Physik-)Formel:

Verhältnis der gegenseitigen Ping-Dauern zweier (gegenüber einander starrer) Beteiligter, die hintereinander konstant-hyperbolisch beschleunigen (bzw. äquivalent: die übereinander gehalten werden):

Formel:

$\left( \frac{ \tau B_{\text{ping }BAB} }{ \tau A_{\text{ping }ABA} } \right) = \left( \frac{g_A}{g_B} \right) = \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} ~ \right] = \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_B}{2 ~ c} ~ \tau B_{\text{ping} BAB} ~ \right].$

Herleitung:

– gefordert konstant-hyperbolisch beschleunigte Bahnen im Flachen; $B$ hinter $A$ :

$x_A[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t}{c} \right)^2} - 1\right) + L$ ,

$x_B[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t}{c} \right)^2} - 1\right)$ .

– Pings zu den beiden jeweiligen “Umkehrpunkten” (bzgl. eines bestimmten geeigneten Inertialsystems, dessen Existenz durch aufwändigere explizite Berechnung aufeinanderfolgender Pings nahegelegt ist):

$t_A = x_A[ ~ t_A ~ ] - x_B[ ~ 0 ~ ] = \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t_A}{c} \right)^2} - 1\right) + L - 0$ ,

$t_A :=$ $\frac{L}{2~c} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)}$ ,

(worin die implizite Bedingung
$\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1 < 0$ bzw.

$L < \frac{c^2}{g_A}$

ausdrückt, dass sich $B$ stets auf der "inneren Seite" von $A$ s Rindler-Horizont befinden muss, damit sich die beiden ununterbrochen beobachten können) bzw.

$t_B = x_A[ ~ 0 ~ ] - x_B[ ~ t_B ~ ] = L - \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t_B}{c} \right)^2} - 1\right)$ ,

$t_B :=$ $\frac{L}{2 ~ c} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ ;

– gefordert konstante gegenseitige Ping-Dauern (d.h. gegenseitige Starrheit):

$\frac{g_A}{c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_A}{c} ~ t_A ~ \right]$

und

$\frac{g_B}{c} ~ \tau B_{\text{ping }BAB} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_B}{c} ~ t_B ~ \right]$ ;

– “symmetrischer Ansatz”:

$g_A ~ \tau A_{\text{ping }ABA} = g_B ~ \tau B_{\text{ping }BAB}$ , demnach:

$g_A ~ t_A = g_B ~ t_B$ und folglich:

$\frac{g_A ~ L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_A}[c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} = \frac{L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ .

Also:

$L :=$ $\frac{c^2}{g_A} - \frac{c^2}{g_B}$ ,

als einzige relevante Lösung, wobei $g_B > g_A > 0$ , vgl. J. Franklin, “Rigid body motion in SRT”, Gl. (20).

Substituiert in den obigen Ausdruck für $A$ s Ping-Dauer:

$\text{Sinh}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] =: \left( \text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] ~ - ~ \frac{1}{\text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right]} \right) {\Large /} 2 =$

$\frac{g_A}{c} ~ t_A = \frac{g_A ~ L }{2~c^2} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} =$

$\left( (\frac{g_A}{c^2} ~ L) \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} \right) {\Large /} 2 =$

$(-1)~ \left( (1 - \frac{g_A}{g_B}) ~ \frac{( \frac{g_A}{g_B} + 1)}{ (\frac{g_A}{g_B}) } \right) {\Large /} 2 =$

$\left( (\frac{g_A}{g_B}) - \frac{1}{(\frac{g_A}{g_B})} {\Large /} 2.$

Vergleich mit dem Ausdruck in der Anfangs-Zeile liefert die obige Formel.
#8 Frank Wappler
https://rasch.noch.'ne.lesbarere.Version--falls.eine.Herleitung.von.Rotverschiebung--bzw--Blauverschiebung.mal.zu.verlinken.ist--insbesondere.um.den.Unterschied.zu--eigentlicher--Sender-Frequenz-Verschiebung--zu.erläutern
23. Mai 2025

Noch ‘ne (Physik-)Formel:

Verhältnis der gegenseitigen Ping-Dauern zweier (gegenüber einander starrer) Beteiligter, die hintereinander konstant-hyperbolisch beschleunigen (bzw. äquivalent: die übereinander gehalten werden):

Formel:

$\left( \frac{ \tau B_{\text{ping }BAB} }{ \tau A_{\text{ping }ABA} } \right) = \left( \frac{g_A}{g_B} \right) = \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} ~ \right] = \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_B}{2 ~ c} ~ \tau B_{\text{ping} BAB} ~ \right].$

Herleitung:

– gefordert konstant-hyperbolisch beschleunigte Bahnen im Flachen; $B$ hinter $A$:

$x_A[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t}{c} \right)^2} - 1\right) + L$ ,

$x_B[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t}{c} \right)^2} - 1\right)$ .

– Pings zu den beiden jeweiligen “Umkehrpunkten” (bzgl. eines bestimmten geeigneten Inertialsystems, dessen Existenz durch aufwändigere explizite Berechnung aufeinanderfolgender Pings nahegelegt ist):

$t_A = x_A[ ~ t_A ~ ] - x_B[ ~ 0 ~ ] = \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t_A}{c} \right)^2} - 1\right) + L - 0$ ,

$t_A :=$ $\frac{L}{2~c} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)}$ ,

(worin die implizite Bedingung
$\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1 < 0$ bzw.

$L < \frac{c^2}{g_A}$

ausdrückt, dass sich $B$ stets auf der "inneren Seite" von $A$ s Rindler-Horizont befinden muss, damit sich die beiden ununterbrochen beobachten können) bzw.

$t_B = x_A[ ~ 0 ~ ] - x_B[ ~ t_B ~ ] = L - \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t_B}{c} \right)^2} - 1\right)$ ,

$t_B :=$ $\frac{L}{2 ~ c} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ ;

– gefordert konstante gegenseitige Ping-Dauern (d.h. gegenseitige Starrheit):

$\frac{g_A}{c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_A}{c} ~ t_A ~ \right]$

und

$\frac{g_B}{c} ~ \tau B_{\text{ping }BAB} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_B}{c} ~ t_B ~ \right]$ ;

– “symmetrischer Ansatz”:

$g_A ~ \tau A_{\text{ping }ABA} = g_B ~ \tau B_{\text{ping }BAB}$ , demnach:

$g_A ~ t_A = g_B ~ t_B$ und folglich:

$\frac{g_A ~ L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} = \frac{L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ .

Also:

$L :=$ $\frac{c^2}{g_A} - \frac{c^2}{g_B}$ ,

als einzige relevante Lösung, wobei $g_B > g_A > 0$ , vgl. “Rigid body motion in SRT”, Gl. (20).

Substituiert in den obigen Ausdruck für $A$ s Ping-dauer:

$\text{Sinh}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] =: \left( \text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] ~ - ~ \frac{1}{\text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right]} \right) {\Large /} 2 =$

$\frac{g_A}{c} ~ t_A = \frac{g_A ~ L }{2~c^2} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} =$

$\left( (\frac{g_A}{c^2} ~ L) \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} \right) {\Large /} 2 =$

$(-1)~ \left( (1 - \frac{g_A}{g_B}) ~ \frac{( \frac{g_A}{g_B} + 1)}{ (\frac{g_A}{g_B}) } \right) {\Large /} 2 =$

$\left( (\frac{g_A}{g_B}) - \frac{1}{(\frac{g_A}{g_B})} \right) {\Large /} 2.$

Vergleich mit dem Ausdruck in der ersten Zeile liefert die obige Formel.
#9 Frank Wappler
https://rasch.noch.'ne.berichtigte.Version--falls.eine.Herleitung.von.Rotverschiebung--bzw--Blauverschiebung.mal.zu.verlinken.ist--insbesondere.um.den.Unterschied.zu--eigentlicher--Sender-Frequenz-Verschiebung--zu.erläutern
23. Mai 2025

Noch ‘ne (Physik-)Formel:

Verhältnis der gegenseitigen Ping-Dauern zweier (gegenüber einander starrer) Beteiligter, die hintereinander konstant-hyperbolisch beschleunigen (bzw. äquivalent: die übereinander gehalten werden):

Formel:

$\left( \frac{ \tau B_{\text{ping }BAB} }{ \tau A_{\text{ping }ABA} } \right) = \left( \frac{g_A}{g_B} \right) = 1 \Large{ / } \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} ~ \right] = 1 \Large{ / } \text{Exp} \left[ ~ \frac{g_B}{2 ~ c} ~ \tau B_{\text{ping} BAB} ~ \right].$

Herleitung:

– gefordert konstant-hyperbolisch beschleunigte Bahnen im Flachen; $B$ hinter $A$ :

$x_A[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t}{c} \right)^2} - 1\right) + L$ ,

$x_B[ ~ t ~ ] := \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t}{c} \right)^2} - 1\right)$ .

– Pings zu den beiden jeweiligen “Umkehrpunkten” (bzgl. eines bestimmten geeigneten Inertialsystems, dessen Existenz durch aufwändigere explizite Berechnung aufeinanderfolgender Pings nahegelegt ist):

$t_A = x_A[ ~ t_A ~ ] - x_B[ ~ 0 ~ ] = \frac{c^2}{g_A} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_A ~ t_A}{c} \right)^2} - 1\right) + L - 0$ ,

$t_A :=$ $\frac{L}{2~c} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)}$ ,

(worin die implizite Bedingung
$(\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1 < 0$ bzw.

$L < \frac{c^2}{g_A}$

ausdrückt, dass sich $B$ stets auf der "inneren Seite" von $A$ s Rindler-Horizont befunden haben muss, damit sich die beiden ununterbrochen beobachten konnten) bzw.

$t_B = x_A[ ~ 0 ~ ] - x_B[ ~ t_B ~ ] = L - \frac{c^2}{g_B} ~ \left(\sqrt{1 + \left( \frac{g_B ~ t_B}{c} \right)^2} - 1\right)$ ,

$t_B :=$ $\frac{L}{2 ~ c} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ ;

– gefordert konstante gegenseitige Ping-Dauern (d.h. gegenseitige Starrheit):

$\frac{g_A}{c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_A}{c} ~ t_A ~ \right]$

und

$\frac{g_B}{c} ~ \tau B_{\text{ping }BAB} := 2 ~ \text{ArcSinh}\left[ ~ \frac{g_B}{c} ~ t_B ~ \right]$ ;

– “symmetrischer Ansatz”:

$g_A ~ \tau A_{\text{ping }ABA} = g_B ~ \tau B_{\text{ping }BAB}$ , demnach:

$g_A ~ t_A = g_B ~ t_B$ und folglich:

$\frac{g_A ~ L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} = \frac{L}{2 ~ c^2} \frac{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 2)}{((\frac{g_B}{c^2} ~ L) + 1)}$ .

Also:

$L :=$ $\frac{c^2}{g_A} - \frac{c^2}{g_B}$ ,

als einzige relevante Lösung, wobei $g_B > g_A > 0$ , vgl. “Rigid body motion in SRT”, Gl. (20).

Substituiert in den obigen Ausdruck für $A$ s Ping-dauer:

$\text{Sinh}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] =: \left( \text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] ~ - ~ 1 \Large { / } \text{Exp}\left[ \frac{g_A}{2 ~ c} ~ \tau A_{\text{ping }ABA} \right] \right) {\Large /} 2 =$

$\frac{g_A}{c} ~ t_A = \frac{g_A ~ L }{2~c^2} \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} =$

$\left( (\frac{g_A}{c^2} ~ L) \frac{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 2)}{((\frac{g_A}{c^2} ~ L) - 1)} \right) {\Large /} 2 =$

$\left( (1 - \frac{g_A}{g_B}) ~ (-1)~ \frac{( \frac{g_A}{g_B} + 1)}{ (-1)~(\frac{g_A}{g_B}) } \right) {\Large /} 2 =$

$\left( \frac{1}{(\frac{g_A}{g_B})} - (\frac{g_A}{g_B}) \right) {\Large /} 2.$

Vergleich mit dem Ausdruck in der ersten Zeile liefert die obige Formel.

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