Die Mengenlehre entstand im 19. Jahrhundert aus der Beschäftigung mit pathologischen (reellen) Funktionen. Georg Cantor hatte 1869 zunächst bewiesen, dass die Fourier-Reihe einer Funktion eindeutig ist, wenn sie in allen Punkten gegen die Funktion konvergiert, und hatte sich dann der Frage zugewandt, welche Mengen an Ausnahmepunkten – in denen die Fourier-Reihe nicht gegen den Funktionswert…
Ein Film über die Logikerin Julia Robinson ist aus Anlaß ihres gestrigen Centennials in Berkeley uraufgeführt worden (wo heute ein Symposium dazu stattfindet). Mehr über den Film erfährt man bei Zala Films und den kompletten Film kann man (für 4,37€) bei Vimeo anschauen. In Hilberts 10tem Problem geht es um Algorithmen für ganzzahlige Lösungen polynomieller…
Viele Differentialgleichungen lassen sich in äquivalente Integralgleichungen umformen. Beispielsweise führt im Beweis des Existenzsatzes für gewöhnliche Differentialgleichungen (Picard-Lindelöf) die Integration von x’=f(x(t),t) mit Anfangswert x(t0)=x0 auf die Integralgleichung . Auch viele partielle Differentialgleichungen können auf Integralgleichungen zurückgeführt werden. Solche Ansätze waren häufig nützlich gewesen, man hatte aber im 19. Jahrhundert nicht damit gerechnet, dass es…
Als Dirichlet-Reihen bezeichnet man Funktionen der Art . Für die konstante Funktion f=1 bekommt man beispielsweise die Riemannsche Zetafunktion, deren Nullstellen einem Informationen über die Verteilung der Primzahlen geben. Wenn f multiplikativ ist, also f(mn)=f(m)f(n) für alle m und n gilt, kann man F als „Euler-Produkt“ über alle Primzahlen zerlegen: . Für den Fall der…
Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant. Quia suprascriptum par in primo mense germinat, duplicabis ipsum, erunt paria duo in uno…
Der heute als Lebesgue-Integral bekannte Meßbarkeits- und Integralbegriff wurde 1901 von Henri Lebesgue in einer kurzen Notiz „Sur une généralisation de l’intégrale définie“ in den Comptes Rendus de l‘Academie des Sciences und im Jahr danach ausführlich in seiner Paris bei Émile Borel geschriebenen (und in den Annali di Matematica in Mailand veröffentlichten) Dissertation „Intégrale, Longueur,…
Über eine beeindruckende (fast) elementarmathematische Anwendung der Hochenergiephysik berichtet das Quanta Magazine unter der Überschrift Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math. Es geht um eine überraschende Formel, mit der man die Eigenvektoren einer Matrix (zumindest die Beträge ihrer Koordinaten) nur aus den Eigenwerten der Matrix und ihrer Hauptminoren berechnen kann. Im Artikel wird…
Eine der wichtigsten Aufgaben in der angewandten Mathematik ist es, Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen y’=f(x,y), y(x0)=y0, deren Lösung sich nicht in geschlossener Form angeben läßt, auf numerischem Wege angenähert zu lösen. Das einfachste und naheliegendste Verfahren war schon von Euler im 18. Jahrhundert verwendet worden: man wählt eine Diskretisierungs-Schrittweite h und berechnet dann für die Werte…
Das 19. Jahrhundert war die goldene Zeit der projektiven Geometrie. Deren Entwicklung war ursprünglich von der École Polytechnique ausgegangen (Monge, Poncelet, …) und überhaupt war die hohe Wertschätzung der Geometrie auch in der dominierenden Rolle der darstellenden Geometrie an technischen Hochschulen begründet. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts hatte man dann nicht nur die…
Das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten ist wieder eine Summe von zwei Quadraten: . Das kann man natürlich durch direktes Ausrechnen überprüfen, es folgt aber auch aus der Produktformel für Beträge komplexer Zahlen, wenn man z=a+bi, w=c+di setzt und dann den Betrag von zw=(ac-bd)+(ad+bc)i in die Produktformel einsetzt. Von Bedeutung in der Zahlentheorie war…
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