Seit Descartes verwendet man Koordinatensysteme, um die Geometrie zu algebraisieren, also geometrische Probleme auf algebraische Berechnungen zurückzuführen. In der auf Hermann Minkowski zurückgehenden „Geometrie der Zahlen“ geht es umgekehrt darum, zahlentheoretische Sätze mit einfachen geometrischen Argumenten zu beweisen. Der Startpunkt von Minkowskis Theorie war der folgende Satz, mit dem er eine schwächere Ungleichung von Hermite…
Eine sehr schöne Animation zum Unterschied zwischen Wärmeausbreitung und Wellenausbreitung auf Elefanten hat heute Gabriel Peyré auf Twitter. Weil sich das Video nicht direkt einbetten läßt, hier nur ein paar Bildschirmfotos. Auf der rechten Seite der Differentialgleichung steht jeweils der Laplace-Operator Δf=div(grad f). Auf der linken Seite steht für die Wärmeleitungsgleichung die erste Zeitableitung und…
Friedrich Nietzsche entwickelte in den 80er Jahren des 19. Jahrhunderts den Gedanken der ewigen Wiederkunft des immer gleichen. Nach allem, was man weiß, war er dabei nicht von der Mathematik beeinflußt. Trotzdem klingt seine Argumentation ziemlich genau wie der Beweis, mit dem Henri Poincaré dann den Wiederkehrsatz bewies und damit aus heutiger Sicht den Beginn…
“The greatest mathematical paper of all time” betitelte 1989 der Mathematical Intelligencer eine Besprechung A.J.Colemans über Wilhelm Killings hundert Jahre zuvor erschienene Arbeit “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen, Teil 2”. Diese Arbeit sei das Paradigma für alle späteren Klassifikationen algebraischer Strukturen gewesen, außerdem seien die in ihr entwickelten Methoden unabdingbar für die Entwicklung der…
Ich hatte hier im Blog über einige Jahre eine Reihe Topologie von Flächen, die trotz des recht speziellen Themas ganz gute Klickzahlen hatte und die durch ihr wöchentliches Erscheinen jedenfalls eine Garantie dafür war, dass hier im Blog nicht nur tagesaktuelle Ereignisse vorkommen, sondern auch ernsthafte Mathematik. Um das wiederaufzunehmen, will ich hier im Blog…
Letzte Woche hatten wir über unphysikalische Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen geschrieben. Heute gibt es bei Numberphile ein neues Video, in dem vor allem die Physik der Navier-Stokes-Gleichungen noch einmal besser erklärt wird.
Viele physikalische Phänomene werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Um solche Differentialgleichungen zu lösen, benutzen Mathematiker oft einen verallgemeinerten Lösungsbegriff, mit dem sich leichter arbeiten läßt, sogenannte schwache Lösungen. Es stellt sich dann natürlich immer die Frage, was solche schwachen Lösungen noch mit dem ursprünglichen physikalischen Problem zu tun haben. In der Gauß-Vorlesung Anfang Juni in…
Kann man Polygone gleichen Flächeninhalts oder Polyeder gleichen Volumens durch Schneiden und Kleben ineinander überführen? Für 2-dimensionale Polygone ist das elementar genug, dass man es vielleicht sogar mit Schülern machen kann (und wird im Video unten vorgeführt) und das war schon früh im 19. Jahrhundert bekannt (Satz von Bolyai-Gerwien). Carl Friedrich Gauß hatte seinerzeit bedauert,…
“Fläche mit einem dünnen Elektrizität leitenden Material bedeckt. Stationärer Strom auf der Fläche durch Verbindung zweier mit beliebigen Punkten der Fläche verbundenen Pole elektrischer Batterien. Das Potential des Stroms ist die Lösung eines Randwertproblems, das man aus einem Variationsproblem erhält. Suche unter allen möglichen Flüssen den mit der geringsten Wärme. Aus der Existenz der minimalen…
Bei der Riemann-Vermutung geht es um die Nullstellen der oben abgebildeten Zetafunktion (und letztlich um die Verteilung der Primzahlen). Die Zetafunktion hat ‘triviale’ Nullstellen -2,-4,-6,… und außerdem viele Nullstellen auf der Gerade 1/2+it (t reell). Die Riemann-Vermutung besagt, daß es darüber hinaus keine weiteren Nullstellen gibt. Wenn korrekt, würde aus der Riemann-Vermutung die genauest-mögliche Abschätzung…
Letzte Kommentare