Letzte Woche hatten wir die Windungszahl einer Kurve (um einen Punkt) definiert, welche anschaulich ausdrückt, wie oft sich die Kurve um diesen Punkt herumwickelt. Während einer Verformumg (“Homotopie“) einer Kurve kann sich die Windungszahl um einen Punkt ändern – aber nur, wenn die Kurve während der Homotopie durch den Punkt geht. Bei einer Homotopie, die…
Ein Grund, warum die im Video letzte Woche beschriebene Umstülpung der Sphäre eine Zeitlang mit Skepsis gesehen wurde ist die Unmöglichkeit einer analogen Verformung für Kurven in der Ebene. Reguläre Kurven in der Ebene können (anders als die Sphären im 3-dimensionalen Raum) nicht immer durch eine reguläre Homotopie ineinander überführt werden. Das Hindernis für eine…
Die Sphäre im Titelbild ist nicht “immersiert”: am Äquator sind die Ableitungen (in horizontaler Richtung) alle Null. Solche Spitzen entstehen scheinbar zwangsläfig, wenn man versucht eine Sphäre umzustülpen. Wir hatten letzte Woche ein Originalvideo aus den 70er Jahren verlinkt, in welchem Pugh (unter anderem mit Smale) die Umstülpung der Sphäre erklärten. Es ging um die…
Boy-Flächen, wie wir sie in den letzten Folgen beschrieben hatten, sind zwar seit Beginn des 20. Jahrhunderts bekannt, aber erst seit Ende der 70er hat man analytische Formeln. Die wurden ursprünglich in Zusammenhang mit einem anderen Problem entdeckt, nämlich der Eversion (Umstülpung) der Sphäre, oft popularisiert unter dem Schlagwort “Turning the sphere inside out”. Dabei…
Boy-Flächen nennt man Immersionen der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, sie sind ein beliebtes Thema für Videos, Animationen, Modelle und Skulpturen (z.B. vor der Universität Cagliari oder dem MFO). Letzte Woche hatten wir uns Steiner-Flächen angesehen, das waren Abbildungen (mit gewissen Singularitäten) der projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, die gelegentlich auch Römerflächen genannt…
Wie zeichnet man eine projektive Ebene mit möglichst wenigen Überschneidungen in unseren 3-dimensionalen Raum? Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, dass sich nicht-orientierbare geschlossene Flächen wie die Kleinsche Flasche oder die projektive Ebene nicht in den R3 einbetten lassen. Es gibt aber natürlich Abbildungen dieser Flächen mit Selbstschnitten. Ein oft gezeigtes Bild einer im R3…
Letzte Woche hatten wir gesehen, dass die nicht-orientierbaren Flächen wie die projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche nicht in den 3-dimensionalen Raum eingebettet werden können, jedenfalls nicht ohne Selbstschnitte. Die nächste Frage ist dann, ob es wenigstens Abbildungen mit möglichst wenigen Selbstschnitten gibt. Der Fachausdruck für die – nach Einbettungen – nächst-allgemeinere Klasse von Abbildungen…
Letzte Woche hatten wir beschrieben, welche im R3 eingebetteten Flächen minimale Energie haben. Eine Frage, die sich da natürlich stellt: kann man eigentlich jede topologische Fläche in den R3 einbetten? Die geschlossenen, orientierbaren Flächen lassen sich ja offensichtlich in den R3 einbetten: die unten abgebildeten ebenso wie alle Flächen, die man durch Ankleben weiterer Henkel…
Die neue Folge des Wissenschaftsfernsehens wq-tv ist online auf https://www.wq-tv.de/, Titel “Die magische Welt der Zahlen”. Vier jeweils gut 5 Minuten lange Videos, im ersten geht es um Kryptographie nach Cäsar und Vigenere (der zu entschlüsselnde Text heißt übrigens “Der Lehrer ist doof”), das zweite stellt das Mathematikum in Gießen vor. Im dritten Video geht…
Im Februar 2012 wurde die Willmore-Vermutung bewiesen. Sie beschreibt, welche Donuts Seifenblasen am nächsten kommen, d.h. die geringste Willmore-Energie haben. Willmore-Energie Wir hatten uns hier in der Reihe einige Folgen lang mit Minimalflächen befaßt, u.a. in TvF 233 etwas über die Klassifikation der Minimalflächen im R3 geschrieben (soweit bekannt). Diese Minimalflächen im R3 haben immer…
Letzte Kommentare