Bekanntlich divergiert die harmonische Reihe , während man leicht zeigen kann, dass kleiner als 2 bleibt und deshalb konvergieren muß. Die Suche nach dem genauen Wert dieser Reihe wurde im 17. Jahrhundert als “Basler Problem” bekannt, gelöst wurde die Frage 1735 von Euler: . Heute gibt es hierfür einen einfachen Beweis, der die Fourier-Entwicklung der…
Eine (komplexe) ebene Kurve kann man auf zwei Arten beschreiben: implizit durch eine Gleichung F(x,y)=0 oder explizit als Bild einer parametrisierten Kurve c:C–>C2. Kegelschnitte und auch singuläre Kubiken lassen sich durch rationale Funktionen parametrisieren, nichtsinguläre Kubiken (elliptische Kurven) aber nicht: für ihre Parametrisierung benötigt man die unten abgebildete Weierstraßsche ℘-Funktion eines Gitters L. Die elliptische…
Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten gelten heute als Grundlage der Stringtheorie, sie sollen die sechs zur Raum-Zeit hinzukommenden zusätzlichen Dimensionen ausmachen. Ursprünglich stammen sie aber aus der Differentialgeometrie, genauer aus der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten. (Das sind komplexe Mannigfaltigkeiten mit einer kompatiblen Riemannschen Metrik g und dadurch gegebener (1,1)-Form ω(X,Y)=g(X,JY). Kähler hatte sie in den 30er Jahren eingeführt, um die…
Die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben gefärbt werden kann, wurde erstmals 1852 von de Morgan in einem Brief an Hamilton formuliert. Kempes gefeierter Beweis von 1878 stellte sich zwölf Jahre später als fehlerhaft heraus. Heawood, der den Fehler im Beweis gefunden hatte, bewies immerhin korrekt die Färbbarkeit mit fünf Farben, und er fand…
Man untersucht Gruppen gerne durch ihre Wirkungen auf mathematischen Objekten, insbesondere durch ihre linearen Darstellungen, d.h., ihre Homomorphismen nach GL(n,C) oder in andere lineare Gruppen. Die endlich-dimensionalen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen wurden 1913 von Élie Cartan klassifiziert, es gibt von ihnen nur abzählbar viele. Beispielsweise hat SL(2,C) für jedes n eine, bis auf Konjugation in GL(n,C)…
Die Riemannsche Vermutung ist eines der bekanntesten offenen Probleme der Mathematik. Sie besagt, dass die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf der „kritischen Geraden“ Re(s)=1/2 liegen. Riemann selbst ebenso wie Hadamard und de La Vallée Poussin, die mit Hilfe der Zetafunktion den Primzahlsatz bewiesen, hatten einen rein analytischen Ansatz. In Retrospekt drückte die Vermutung jedoch wirklich…
Das ZDF hatte heute Abend eine Ratesendung mit Mathematiker. Gefragt wurde, wie Professor Ingo Althöfer Chaosforschung betreibt (Bild oben). Ich hätte ja auf das Gummibärenschütteln getippt, es war aber die Waschmaschine. Vor einigen Jahren hatte der Professor mal seine Legosteine reinigen wollen und sie deshalb in die Waschmaschine gesteckt. Dabei bildeten sich überraschende Muster und…
Schach ist vermutlich die einzige Sportart, die in der Pandemie boomt. Es gibt jede Menge Online-Turniere, viel mehr als früher in der Offline-Welt stattfanden. In der Deutschen Schach-Online-Liga wurden Ende März die Vorrunden beendet. Natürlich wurden wie bei Online-Turnieren inzwischen üblich die Partien auf Computer-Betrug geprüft und in offensichtlichen Fällen die Betrüger gesperrt. Mit Gewissheit…
Hier ein paar Fundstücke, die ich auf der Suche nach Einführungs- und Motivationsvideos zum Thema “Differentialgleichungen” gefunden habe. Hundertfünfzigtausend Aufrufe in einem halben Jahr hat Sabine Hossenfelders Motivationsvideo, das es leider nur auf Englisch gibt. Passend zum Jahr 2020 beginnt es mit der Differentialgleichung exponentiellen Wachstums am Beispiel der Ausbreitung von Pandemien. Weniger leidenschaftlich, aber…
Die Laplace-Gleichung Δu=0 beschreibt das elektrische Potential im ladungsfreien Raum. Um sie auf einem Gebiet eindeutig lösen zu können, muß man die Werte der Lösung auf dem Rand des Gebietes vorgeben, sogenannte Randbedingungen. Dasselbe gilt auch für die Poisson-Gleichung Δu=f zu einer auf dem Inneren des Gebiets gegebenen Funktion f, der Ladungsdichte. Die Laplace- und…
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