Darstellungen von Lie-Gruppen kommen heute überall in der theoretischen Physik vor, historisch waren sie im 19. Jahrhundert vor allem in der Invariantentheorie von Interesse: dort betrachtet man beispielsweise die Wirkung von SL(n,C) auf dem Raum der homogenen Polynome vom Grad d in n Variablen. Damals wie heute interessiert man sich nur für differenzierbare Darstellungen. (Alles…
Der Riemannsche Abbildungssatz behauptet, dass man jedes einfach zusammenhängende Gebiet biholomorph (komplex differenzierbar mit einer komplex differenzierbaren Umkehrabbildung) auf die Einheitskreisscheibe abbilden kann, und – falls der Rand des Gebietes eine Jordankurve ist – diese Abbildung stetig auf den Rand fortgesetzt werden kann. Er ist nach Riemann benannt, auch wenn dieser keinen nach heutigen Maßstäben…
So lange MATHEMATISCH nicht zwingend die Stimmen einer Fraktion benötigt werden, ist es reine Vermutung. Mit dieser Begründung wurde im Wikipedia-Artikel zu Thomas Kemmerich der Hinweis entfernt, er sei mit den Stimmen der AfD ins Amt gewählt worden. Mathematisch und rein formal ist das natürlich korrekt. Trotzdem gibt es keinen vernünftigen Zweifel daran, dass es…
„Die EU verliert Greenwich, den Mittelpunkt der Erde“ so das heute-Journal in seinem Farewell für die Briten. Als Mathematiker möchte ich dazu sagen, dass die Sphäre ein symmetrischer Raum ist: man kann sie an jedem Punkt spiegeln; jeder Punkt ist ein Mittelpunkt. (Und wenn man die Abplattung der Pole berücksichtigt, müssen die Mittelpunkte auf dem…
„Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite“ heißt es bei Euklid, was wohl ausdrücken sollte, dass Kurven 1-dimensional sind. Felix Klein meinte einmal, jeder wisse, was eine Kurve sei – bis er genug Mathematik studiert habe um von den zahllosen Ausnahmen verwirrt zu sein. Kurven definiert man heute als Bilder stetiger Abbildungen eines (endlichen oder…
Wikipedia hat inzwischen jedes gedruckte Lexikon weit abgehängt, trotz oder wohl eher wegen ihrer unprofessionellen und selbstregulierenden Arbeitsweise. Bis auf die Betreiber der Server und die Techniker arbeiten alle Beteiligten unentgeltlich und überwiegend anonym. Trotzdem werden Wikipedia-Leser regelmäßig um die Weihnachtszeit mit Spendenaufrufen belästigt. Jährlich nimmt die Wikimedia Foundation auf diese Weise einen zweistelligen Millionenbetrag…
Die Bezeichnung „Körper“ für eine unter den vier Operationen +,-,x,: abgeschlossene Menge reeller oder komplexer Zahlen wurde 1871 von Richard Dedekind eingeführt. Ohne den Namen waren algebraische Zahlkörper (endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen) natürlich schon in den zahlentheoretischen Arbeiten von Gauß und Lagrange ebenso präsent gewesen wie auch in den Arbeiten von Abel und Galois…
Kann man die natürlichen Zahlen mit 13 Farben einfärben ohne dass es eine einfarbige arithmetische Folge der Länge 28 gibt? Oder, einfacher, kann man sie mit zwei Farben einfärben ohne dass es eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt? An diesem einfachen Beispiel erklärt Timothy Gowers den Satz von der Waerden:
Das Gesetz der großen Zahlen ist ein empirisches Naturgesetz: relative Häufigkeiten stabilisieren sich mit wachsender Zahl von Versuchen. Mathematisch kann man das auf verschiedene Weise formalisieren. Man hat eine Folge von Zufallsvariablen Xn mit Erwartungswerten E(Xn) und betrachtet die zentrierten Mittelwerte . Eine mögliche Formulierung ist das schwache Gesetz der großen Zahlen: für jedes positive…
Das Rayleigh-Ritz-Prinzip ist ein Variationsprinzip für den kleinsten Eigenwert eines Operators. Es findet sich erstmals in The Theory of Sound (Baron Rayleigh, 1877) und wurde 1908 von Walter Ritz zu einem praktikablen Berechnungsverfahren weiterentwickelt. In heutiger Sprache formuliert man das Prinzip so: für einen selbstadjungierten Operator H – in physikalischen Anwendungen meist der Hamilton-Operator –…
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