Faserbündel sind Räume, die lokal wie ein Produkt aussehen. Über jedem Punkt eines Basisraums B hat man eine (dieselbe) Faser F, die Fasern setzen sich zu einem Totalraum E zusammen, und lokal kann man zu jedem Basispunkt eine Umgebung U finden, deren Urbild in E mit dem Produkt identifiziert werden kann. So ist etwa das…
In einem abgeschlossenen Intervall [a,b] hat jede Folge eine konvergente Teilfolge. Das folgt aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß und es war den Analytikern seit dem 19. Jahrhundert klar, dass das eine sehr nützliche Eigenschaft des abgeschlossenen Intervalls ist, und allgemeiner auch eine nützliche Eigenschaft abgeschlossener und beschränkter Teilmengen des Rn. Frechet hatte 1905 in seiner…
Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) – benannt nach Eduard Stiefel – ist die Menge aller geordneten Paare orthonormaler Vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum R3. (Allgemein ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vk(Rn) die Menge der geordneten k-Tupel orthonormaler Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn.) Immersionen des Kreises und π1(V1(R2)) Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, wie man die regulären Homotopieklassen regulärer Kurven…
Bei Math Overflow ist mir zufällig dieser alte Thread aufgefallen, der -obwohl längst geschlossen- es doch noch mal auf die Startseite geschafft hatte. Es ging um mathematische Beweise durch suggestive Bilder. Einige Beispiele:
Sphären, orthogonale und unitäre Gruppen, Geodäten und Bott-Periodizität.
Homotopiegruppen von Flächen.
Homotopiegruppen von Sphären.
Der Fundamentalsatz der Algebra und ein einfacher topologischer Beweis.
Homotopiegruppen und die Pontrjagin-Thom-Konstruktion.
Homotopiegruppen der 2-Sphäre.
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