Ein neuer Artikel auf dem ArXiv beschreibt ein Programm zum Erleben virtueller Realität im hyperbolischen Raum. Es gibt ja schon seit mindestens 15 Jahren das Programm von Weeks (Real time rendering in curved space), mit dem man den hyperbolischen Raum “durchfliegen” oder zu einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit die Zerlegung ihrer universellen Überlagerung in Fundamentalbereiche anschauen kann.…
Sehr symmetrische Fraktale lassen sich mit Hilfe der hyperbolischen Geometrie konstruieren: man nimmt eine diskrete Gruppe von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes (eine “Kleinsche Gruppe”) und schaut sich den Orbit eines Punktes unter dieser Gruppenwirkung an. Den Rand des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes denkt man sich als 2-dimensionale Sphäre (oder als Ebene mit noch einem Punkt…
Auf die folgenden beiden Visualisierungen von Billards im hyperbolischen Raum bin ich auf der Webseite von Anton Lukyanenko gestoßen. Das Video zeigt sich bewegende Kugeln im hyperbolischen Raum, die jeweils an einer Sphäre reflektiert werden. Das obere Video nutzt das obere Halbraummodell mit Metrik . Die Kugeln bleiben (in der hyperbolischen Geometrie) immer gleich groß,…
Im Januar-Heft der Annals of Mathematics findet sich eine Arbeit eines hinduistischen Mönchs über den Beweis der Cannon-Thurston-Vermutung für Flächen: “Cannon-Thurston maps for surface groups”. Eine Methode zur Konstruktion von Fraktalen mit vielen Symmetrien sind Limesmengen Kleinscher Gruppen: man nimmt eine diskrete Gruppe von Isometrien des hyperbolischen Raumes, schaut sich den Orbit eines Punktes unter…
Minimalflächen im hyperbolischen Raum. Wir hatten in TvF 233 die Minimalflächen im 3-dimensionalen euklidischen Raum und in TvF 234 die Minimalflächen in der 3-dimensionalen Sphäre beschrieben, jedenfalls so weit bekannt. Als nächstes kann man natürlich fragen, welche Minimalflächen es im hyperbolischen Raum gibt. Die hyperbolische Geometrie ist viel komplizierter als die euklidische oder sphärische, zum…
Der 3-dimensionale hyperbolische Raum und sein Rand im Unendlichen.
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