In der algebraischen Zahlentheorie befaßt man sich hauptsächlich mit Zahlkörpern und eine zentrale Frage ist, ob man dort eindeutige Primfaktorzerlegungen hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn jedes Ideal im Ganzheitsring des Zahlkörpers ein Hauptideal ist, also wenn der Zahlkörper die Klassenzahl 1 hat. (Die Klassenzahl ist die Anzahl der Elemente der Idealklassengruppe, diese…
Ein klassisches Thema der Zahlentheorie sind die Modulfunktionen für Γ=SL(2,Z) und allgemeiner für Fuchssche Gruppen. Man kann sie als Funktionen auf der hyperbolischen Fläche Γ\H2 ansehen und sie sind dort Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators Δ. Hans Maaß definierte 1949 (nicht notwendig holomorphe) automorphe Funktionen als Eigenfunktionen von Δ. In der klassischen harmonischen Analysis will man Funktionen…
Als Dirichlet-Reihen bezeichnet man Funktionen der Art . Für die konstante Funktion f=1 bekommt man beispielsweise die Riemannsche Zetafunktion, deren Nullstellen einem Informationen über die Verteilung der Primzahlen geben. Wenn f multiplikativ ist, also f(mn)=f(m)f(n) für alle m und n gilt, kann man F als „Euler-Produkt“ über alle Primzahlen zerlegen: . Für den Fall der…
Im neuen SPIEGEL findet sich ein äußerst überschwänglich geschriebener Artikel zur (nicht ganz neuen) Datenbank LMFDB (L-functions and Modular Forms Database). Was sind L-Funktionen? Das einfachste Beispiel ist die Riemannsche ζ-Funktion, die für Re(s)>1 durch definiert und dann durch analytische Fortsetzung auf der restlichen komplexen Zahlenebene definiert wird. Riemann hatte sie in Zusammenhang mit der…
Zur Jahrtausendwende hatte das Clay-Institut jeweils 1 Million Dollar für sieben mathematische Probleme ausgelobt, von denen in der Zwischenzeit erst eines (die Poincaré-Vermutung) gelöst wurde. Manjul Bhargava, frischgebackener Fields-Medaillist, hat heute auf dem ICM eine 66,48-prozentige Lösung eines weiteren Millionenproblems – der Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung – vorgestellt, die ihm freilich keine 66,48% des Millionenpreises einbringen wird… Es…
Letzte Kommentare