Lagrange und vor allem Gauß hatten sich mit der Frage befaßt, welche ganzen Zahlen durch eine gegebene ganzzahlige, binäre, quadratische Form ax2+bxy+cy2 dargestellt werden können, und sie hatten auch einige Resultate für ganzzahlige quadratische Formen in mehr als zwei Variablen erzielt. Abschließende Resultate gab es dort aber nicht und selbst die abschließende Behandlung der binären…
Im Zusammenhang mit der Hauptachsentransformation von Kegelschnitten war zum Beginn des 19. Jahrhunderts am Eigenwertproblem symmetrischer 3×3-Matrizen gearbeitet worden. Cauchy hatte das 1829 zu einem Abschluß gebracht, indem er bewies, dass eine reelle symmetrische nxn-Matrix reelle Eigenwerte hat, die zugehörige quadratische Form also auf Hauptachsen transformiert werden kann: jede quadratische Form kann mittels eines orthogonalen…
Das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten ist wieder eine Summe von zwei Quadraten: . Das kann man natürlich durch direktes Ausrechnen überprüfen, es folgt aber auch aus der Produktformel für Beträge komplexer Zahlen, wenn man z=a+bi, w=c+di setzt und dann den Betrag von zw=(ac-bd)+(ad+bc)i in die Produktformel einsetzt. Von Bedeutung in der Zahlentheorie war…
Das Gaußsche Fehlerintegral, Bernoullis Baselproblem und die Verallgemeinerung zum Satz von Lagrange im aktuellen Kalenderblatt. (Die Bilder lassen sich durch Anklicken vergrössern.) Die 1 zeigt die Berechnung des Gausschen Fehlerintegrals, nach einer bekannten Anekdote soll Kelvin zufolge ein richtiger Mathematiker jemand sein, dem deren Herleitung so klar ist wie 2×2=4. Die Formel bei der 6…
Zahlentheorie, quadratische Formen und Orbits auf homogenen Räumen.
Quadratische Gleichungen und hyperbolische Geometrie.
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