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Existenzangst

Von / 13. Januar 2015 / 29 Kommentare
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“Gibt’s mich wirklich?” fragte die imaginäre Einheit i:
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Das wohl grundlegendste Problem der Mathematikphilosophie: werden mathematische Objekte (ich meine nicht die in der Natur offensichtlich vorkommenden wie Dreiecke oder natürliche Zahlen, sondern eher Rechenhilfsmittel wie Zetafunktionen oder komplexe Zahlen) von Mathematikern entdeckt oder erfunden? Erstere Anschauung nennt man Platonismus und sie wird wohl von den meisten Mathematikern heute vertreten.
Der Begriff “Platonismus” wurde in diesem Zusammenhang wohl erstmals 1934 von Bernays verwendet. Platon selbst soll sich für die Frage nach der Existenz mathematischer Objekte nicht interessiert haben, wie ich aus dieser Dissertation von G.Schneider (Kapitel 6) lerne.

Die Zeichnung kursierte in den letzten Tagen auf Google+

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Kommentare (29)

  1. #1 Stefan Wagner
    https://demystifikation.wordpress.com/2015/01/10/vorurteile-gestern-und-heute/
    13. Januar 2015

    Was wäre denn ein gutes Kriterium um die Frage zu entscheiden?

    Kolumbus hat Amerika entdeckt, nach den Wikingern, den Indianern und den Türken, aber alle entdeckten Amerika unabhängig voneinander.

    Eine Erfindung erscheint eher willkürlich zu sein. Wenn in verschiedenen Teilen der Welt gebranntes Geschirr erfunden wird, mal Porzellan, mal Steingut, mal Ton dann gibt es Abweichungen in den Details. Wenn keine Variabilität denkbar ist, aber eine unabhängige Entdeckung würde ich auf Entdeckung plädieren (ups – eine Tautologie!), nicht auf Erfindung.

    Der Druck mit beweglichen Lettern wurde meines Wissens auch in China vor Europa entdeckt – wie ähnlich die ersten Druckmaschinen waren weiß ich nicht. Je stärker man den Druck aber abstrahiert und von konkreten Details absieht, um so mehr müsste beides als das gleiche und mehr als Entdeckung (und Nutzbarmachung) des Prinzips gelten, als als Erfindung. In der Mathematik hat man es aber immer mit äußerst Abstraktem zu tun.

    Es gibt aber Mengen die mir sehr nach Spielerei vorkommen, etwa palindromsche Zahlen wie 12321 oder 5445 – die sind nur im Dezimalsystem von der Notation her auffällig, die würde ich schon als Erfindung bezeichnen.

  2. #2 Sim
    13. Januar 2015

    Entdeckt oder erfunden? Man kann beides sagen. Je nachdem was man genau ausdrücken möchte.

    Jede mathematische Aussage gilt ja unabhängig davon ob sie ein Mathematiker je ausspricht oder zu Papier bringt. So war die Eulersche Identität ja auch schon gültig als unser Sonnensystem noch gar nicht existiert hat. Also kann man sagen, dass man sie entdeckt hat.

    Andererseits gibt es auch Dinge in der Mathematik die austauschbar und beliebig sind. Zum Beispiel wie wir die Zahlen nennen mit denen wir rechnen oder ob man jetzt das Dezimal oder Sexgesimalsystem verwenden. Da könnte man eher von erfinden sprechen obwohl rein theoretisch auch diese Ideen unabhängig existieren aber sie stechen nicht so sehr raus wie ein mathematischer Zusammenhang.

    Letzten Endes könnte man auch sagen dass man den Fernseher oder das Telefon entdeckt hat. Es sind ja auch nur zusammenhäufungen von Molekülen die ein Ding bilden das etwas macht. Da gibt es wenn man das auf einen endlichen Raum beschränkt nur endlich viele Möglichkeiten Atome zusammenzufügen. Und so ein Telefon hätte man damit auch schon vor einer Millionen Jahren zusammenschustern können. Würden wir in einer Welt leben in der es gar nicht möglich wäre ein Telefon zu bauen, dann hätte man auch keins erfinden können. Aber in unserer Welt gibt es ja offenbar nicht nur eine Möglichkeit ein Telefon zu bauen sondern viele verschiedene man musste nur eine entdecken und das nennt man dann eben erfinden.

    Fazit: Entdecken ist immer richtig. Erfinden kann man auch sagen wenn man die menschlich kreative Komponente in den Mittelpunkt stellen möchte oder dort wo es für ein Problem sehr sehr viele verschiedene Lösungen gibt und der Mensch eine aussucht.

    Und merke: Auch im Wort erfinden steckt das Wort “finden” 😀

  3. #3 Volker Birk
    https://blog.fdik.org
    13. Januar 2015

    Man sollte differenzieren: mathematische Objekte werden gefunden, mathematische Sprache wird erfunden.

    Zum Unterschied: eine Erfindung kann man immer auch anders machen.

    Ist die Kreiszahl π eine Erfindung? Wäre das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser etwa auch anders zu erfinden? Oder könnte man sie anders bezeichnen, anders beschreiben, anders definieren?

    Wem das noch zu komplex ist, weil ja das Konzept “Kreis” ein komplexes ist (immerhin braucht man einen Raum dafür):

    Ist die natürliche Zahl 1 eine Erfindung? Oder lässt sie sich nicht vielmehr vorfinden? Kann ihre Bezeichnung mit der Ziffer 1 auch anders gewählt werden? Oder das ganze Konzept, in dem sie vorkommt?

    Diese Sichtweise lehnen heute eigentlich nur noch die Vertreter der konstruktiven Mathematik ab. Sie wollen die mathematische Sprache und die mathematischen Objekte zur Identität bringen. Diese Idee halte ich allerdings nicht für praktikabel: wer will schon noch auf komplexe Zahlen ganz verzichten – oder gar auf die reellen?

    Warum man das müsste? Sprache ist abzählbar. In der Informatik ist eine Sprache eine Teilmenge der Potenzmenge über einem endlichen Alphabet. Im strengen Sinne konstruiert werden kann also nur Abzählbares.

    An den Vorredner: Fernseher wurden erfunden. Denn man erfand eine Konstruktion, ein Konstruktionsprinzip, das es zuvor nicht gab. War seine mathematische Struktur zuvor jedoch vorhanden? Ja, aber sicher doch. Wie alle mathematische Struktur wurde sie gefunden, nicht jedoch die Konstruktionsidee selbst.

  4. #4 Sim
    14. Januar 2015

    @ Volker Birk

    Man kann auf jeden Fall auch sagen, dass man das Konstruktionsprinzip eines Fernsehers entdeckt hat. Diese Aussage ist doch nicht falsch.

    Es ist denkmöglich, wenn auch unwahrscheinlich, dass verschiedene Leute zu verschiedenen Zeiten an verschiedenen Orten unabhängig von einander das gleiche Konstruktionsprinzip eines ganz spezifischen Fernsehers erfinden und damit aber eben auch entdecken. Dann hat einer der beiden das nach dem anderen erfunden und man kann nicht mehr sagen, dass es das Konstruktionsprinzip nicht schon vorher gab. Es blieb dem letzteren nur bis dahin verborgen. Was sagt man dann? Solange man davon ausgeht der Zweite wäre der einzige der dieses Konstruktionsprinzip erdacht hat, sagt man dann “er hat es erfunden” und sobald bekannt wird das das schonmal vorher Jemand erdacht hat, sagt man dann “er hat es wiederentdeckt” ?

    Ich denke man kann das schon so sehen, dass jede Erfindung strenggenommen auch immer eine Entdeckung ist. Man kann ja nichts erfinden was physikalisch nicht möglich wäre. Sagen wir mal eine Zeitmaschiene oder einen Überlichtgeschwindigkeitsantrieb.

  5. #5 Joseph Kuhn
    14. Januar 2015

    @ Volker Birg: Wie siehst Du das “Erfinden” im Verhältnis zum “Konstruieren”? Deckungsgleich? Das wäre dann aber nicht die Linie des Konstruktivismus, dort lehnt man ja manche mathematischen Objekte gerade deswegen als nicht wirklich ab, weil sie nicht konstruierbar sind und somit nur platonische “Erfindungen” seien.

    Die Frage der imaginären Einheit im Cartoon erscheint zunächst eigentlich ganz präzise: “Gibt es mich wirklich?” Oder bin ich nur ein Gedanke der Menschen? Gibt es mathematische Objekte also auch ohne den Menschen? Wenn ja, in welcher Weise und an welchem Ort? Oder ist ihre “Wirklichkeit” gar keine echte, sind es nur “Möglichkeiten”? Ist am Ende die Frage danach, ob es diese Objekte “wirklich” gibt, begrifflich vielleicht gar nicht konsistent? Die arme imaginäre Einheit!

    “Erfinden” und “Entdecken” ist übrigens auch das Begriffspaar, an dem sich das Buch “Ist Gott ein Mathematiker?” von Mario Livio entlang hangelt – obwohl die Weihnachtsschmökerzeit ja schon vorbei ist.

  6. #6 MisterX
    14. Januar 2015

    So ein Quatsch, C ist isomorph zu R^2, es ist nur eine Art zwei reelle Zahlen darzustellen. Manche interpretieren es auch als Bivektor. Aber so mystisch wie dieses i immer dargestellt wird ist es nicht. Aber hautpsache wieder schönes bedeutungsloses geblubere in den Kommentaren.

  7. #7 MisterX
    14. Januar 2015

    In der Quantenmechanik könnte man z.B. nur selbst adungierte hermitische Operatoren mit reellen Eigenwerten. Man könnte aber auch welche nehmen mit komplexen Eigenwerten, dann müsste man aber einmal den Wert reellen Wert und den imaginären Wert messen, was keinen Sinn in der QM machen würde, weil man nach einer Messung das System verändert hat, im Prinzip wäre das aber möglich.

  8. #8 Thilo
    14. Januar 2015

    Es gibt schon in der Physik vorkommende Matrizen mit nicht-reelleen Eigenwerten. Zum Beispiel die Drehmatrix \left(\begin{array}{cc}\cos\phi&\sin\phi\\\ -\sin\phi&\cos\phi\end{array}\right) hat die Eigenwerte \exp(\phi i) und \exp(-\phi i)

  9. #9 Sebastian
    14. Januar 2015

    @Thilo Wo kommen in der Natur denn Dreiecke oder natürliche Zahlen vor?

  10. #10 Thilo
    14. Januar 2015

    bei Kronecker

  11. #11 Argisti
    15. Januar 2015

    Ich denke schon, dass das Setzen eines Axiomensystems, z.B. ZFC oder das Euklidsche, etwas damit zu tun hat, ein “Universum” zu erfinden. Je nach Axiomensystem gibt es dann Dinge wie Punkte, Strecken und Dreiecke oder eben Mengen, die dann die in den Axiomen “vorherberstimmten” Eigenschaften haben.

    Diese Universen kann man dann aber entdecken und ausleuchten, d.h. neue Objekte darin oder Verknpfungen zwischen bekannten finden.

    Ob diese Objekte aber in irgend einer Weise eine Entsprechung in der “realen Welt” haben, lässt sich nicht wirklich entscheiden, weil wir gar nicht wissen, woraus die reale Welt an sich besteht. Dass sie sich aber für die Beschreibung der uns zugänglichen Welt als hilfreich erwiesen haben, ist unbestreitbar.

  12. #12 ulfi
    15. Januar 2015

    @Argisti so manche würden behaupten, dass beim wechsel von ZF->ZFC genau jener zusammenhang mit “unserem” universum verloren geht. Das Axiom of Choice ist echt nicht intuitiv mit unserem Universum vereinbar.

  13. #13 regow
    Graz
    16. Januar 2015

    Wo gibt es in der Natur die natürlichen Zahlen?

    • #14 Stefan Wagner
      https://demystifikation.wordpress.com/2015/01/16/freitagsgebet/
      16. Januar 2015

      Die Zahl der Protonen und Elektronen in Atomen ist immer ganzzahlig.

  14. #15 Hawk
    16. Januar 2015

    @regow #13:
    Echt jetzt?!
    Bei allen Dingen, die abzählbar sind.
    Wenn du einen Apfel vor dir liegen hast, hast du (unter anderem) eine Repräsentation der Zahl 1 vor dir. Du kannst sie nennen wie du willst, das Konzept existiert unabhängig vom Namen.
    Mit der Zahl -1 sieht es da schon anders aus. Die beschreibt ein rein gedankliches Konstrukt. Damit kann man den real existierenden Vorgang der Substraktion (ich nehme von 2 Äpfeln einen weg) in eine andere Notation bringen, die dann eventuell andere Zusammenhänge offensichtlicher macht ( 2-1 = 2+(-1) ) oder sie beschreibt z.B. einen Offset zu einem willkürlich gewählten Bezug (Das Minimum der Sinuskurve im Einheitskreis ist nur deshalb -1, weil man die 0 als die Mitte zwischen Maximum und Minimum definiert. Würde man die 0 im Minimum ansetzen, gäbe es hier keine negativen Werte für die Amplitude. Es wäre aber alles auch nicht so schön symmetrisch…)
    Die Einführung dieses Hilfskonstrukts (negative Zahlen) führt dann dazu, dass sich die Quadratwurzel dieser Zahlen mit Existenzängsten quälen…

    Gruß Hawk

  15. #16 Argisti
    16. Januar 2015

    @ulfi
    so mancher könnte aber auch behaupten, dass dieser Zusammenhang schon dann verloren geht, wenn das Unendlichkeitsaxiom gefordert wird und vielleicht sogar noch früher. Wir werden zwar einen Weg finden, für die natüliche Zahl 10 eine Entsprechung in der “realen Welt” zu finden. Aber schon bei 10^(1000^(1000^1000))) würden wir uns schwer tun. Für einen Hardcore-Empiristen ist also endliche Arithmetik schon ein Problem.
    Nicht umsonst haben sich die Entwickler solcher Axiomensysteme als Formalisten aus dieser ungemütlichen philosophischen Diskussion zurückgezogen, indem sie die Axiome als formale Regeln ohne epistemologischen Gehalt ansahen.

  16. #17 frbr
    18. Januar 2015

    @Hawk # 15
    Was Du antippst, war ja sogar die mathematik-historische Entwicklung: Die komplexen Zahlen wurden vor den negativen erfunden/entdeckt und die negtiven galten lange Zeit als “imaginärer” als die komplexen.

    Meine eigene Meinung ist: Mathematische Aussagen in definierten Axiomensystemen sind Entdeckungen; solange das Axiomensystem definiert ist, stehen die Entdeckungen fest, bevor sie jemand gemacht hat. Axiomensysteme sind Erfindungen, die sich aber (zumindest in nicht ganz so abstrakten früheren Zeiten wie bei Euklid) an der physikalischen Realität orientieren. Deshalb wird auch ein geometrisches Axiomensystem mindestens teilweise entdeckt. Ich könnte mir aber eine Zivilisation vorstellen, die ihr Axiomensystem sofort nicht-euklidisch aufstellt.

    Viele mathematische Beweise sind geniale Konstruktionen und daher richtige Erfindungen. Und viele mathematische Sätze haben mehr als einen unabhängigen genialen Beweis (Pythagoras; Nullstellen von Polynomen…)

  17. #18 Sim
    18. Januar 2015

    Die komplexen Zahlen wurden vor den negativen erfunden/entdeckt

    Das kann ja gar nicht sein da die negativen Zahlen doch eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind.

  18. #19 Thilo
    18. Januar 2015

    und ihre Motivation ja wohl aus dem Wurzelziehen aus negativen Zahlen bezogen

  19. #20 rolak
    18. Januar 2015

    Ach was, zuallererst wurde bemerkt, daß die Welt der Zahlen ziemlich komplex ist und später dann kamen Null und Negative.

  20. #21 regow
    18. Januar 2015

    @Hawk. Diese mehr oder weniger runden Dinger, farblich sowieso ganz unterschiedlich, der eine süss der andere sauer – ups, da muss ich aber schon sehr viel generalisieren, damit das gleich Sachen sind.

  21. #22 Hawk
    19. Januar 2015

    @regow:
    Zumindest für meinen ersten Absatz brauchst du gar nicht generalisieren. Da musst du dir nur eines der komischen dinger aussuchen und es Apfel nennnen…
    Und für den Rest kannst du ja auch Korinthen nehmen… 😉

  22. #23 Joseph Kuhn
    20. Januar 2015

    Ist jetzt eigentlich geklärt, ob es das i wirklich gibt?

  23. #24 rolak
    20. Januar 2015

    Aber sicher gibt es das, Joseph, allein in Deiner Frage mindestens sieben Mal. Ansonsten ist mir bis jetzt nichts bekannt – falls allerdings mal ein Tachyon gefangen werden sollte…

    Doch auch dann existiert es nur als abstraktes Abbild von irgendetwas Natürlichem, in drei Äpfeln ist ja auch nirgendwo die Zahl ‘3’ versteckt.

  24. #25 rjb
    30. Januar 2015

    Frege war wohl nicht der Ansicht, die natürlichen Zahlen kämen in der Natur vor. Cf §21ff in
    https://www.marilia.unesp.br/Home/Instituicao/Docentes/RicardoTassinari/DGA.pdf
    Und ganz sicher hätte ver Aussagen wie “Wenn du einen Apfel vor dir liegen hast, hast du (unter anderem) eine Repräsentation der Zahl 1 vor dir. ” abgelehnt.

  25. #26 Christoph Stein
    15. Mai 2015

    “werden mathematische Objekte … entdeckt oder erfunden?”

    Die Frage ist ganz einfach falsch gestellt: Jede Erfindung ist gleichzeitig auch eine Entdeckung und vice versa.

    In der Technik ist dieser Zusammenhang trivial. Der Mensch, der zum ersten Mal das Feuer beherrscht hat, hat eine Verwendung des Feuers entdeckt und gleichzeitig die Technik dieser Verwendung erfunden.

    In der Mathematik ist das nicht viel anders. Ein Mathematiker entwickelt ein neues Verfahren, eine neue Rechenweise (Erfindung) und entdeckt dabei neue Möglichkeiten im Umgang mit Zahlen.

    Die falsch gestellte Frage entsteht, weil man zwei Aspekte derselben Sache künstlich in einen Gegensatz verwandelt.

  26. #27 BreitSide
    Beim Deich
    16. August 2015

    Zum Cartoon gibt´s einen Schönen mit Descartes am Kaffeetisch:

    Descartes: “Ich denke, also bin ich!”
    Bedienung: “Sie wünschen Zucker im Kaffee?”
    Descartes: “Ich denke nicht!” – Puff…

  27. #28 rubic
    10. September 2015

    Sim,bei dir fehlt +1,oder irre ich mich?!

  28. #29 Thilo
    10. September 2015

    @rubic: tau=2pi ; hatten wir hier auch schon mal: https://scienceblogs.de/mathlog/2011/06/29/tautag/