Wie kann man aus lokalen Daten die globale Struktur einer Fläche bestimmen?
Wenn jemand populärwissenschaftlich die vierte oder höhere Dimensionen erklären will, dann wird oft auf Edwin Abbott’s Roman ‘Flächenland’ verwiesen. Der Roman handelt von zweidimensionalen Wesen, die auf einer Fläche leben und sich nicht vorstellen können, daß es noch eine dritte Dimension geben soll. (Der Roman soll neben der mathematischen auch eine politische Dimension haben, nämlich daß Abbott auf die eindimensionalen Hierarchien im viktorianischen England anspielen wollte.)
Nun leben wir natürlich als dreidimensionale Wesen auf einer Fläche und können ‘von außen’ auf die Erdoberfläche schauen. Aber was wir dort sehen, ist nur ein kleiner Ausschnitt (sozusagen eine Karte unserer Umgebung) und, wenn man nicht gerade von einem Raumschiff auf die Erde schaut, wird man nicht erkennen können, welche Form die Erde hat, ob sie also eine Sphäre ist oder etwa die Form einer Brezel hat.
Natürlich weiß man spätestens seit Magellan’s Erdumrundung im 16.Jahrhundert, daß es auf der Erde geschlossene Wege gibt. Aber auch auf einer Brezel würde man, wenn man zu einer Umrundung startet, früher oder später wieder in die Nähe des Startpunktes zurückkehren.
Dies ist interessanterweise eine Frage, die, auch zu Zeiten als die Welt noch nicht komplett kartiert war, nie gestellt worden ist. Daß die Erde die Form eines Torus oder einer Brezel haben konnte, galt offenkundig als außerhalb des Denkbaren, und aus späterer oder heutiger Sicht gibt es natürlich sowieso keinen Grund, diese Möglichkeit zu erörtern. Wenn man aber heute die Frage nach der topologischen Gestalt des Universums beantworten will, auf daß wir ja nicht von außen blicken können, dann macht es schon Sinn sich zunächst zu fragen, wie man eigentlich nachprüft, daß die Erde eine Sphäre und keine Brezel ist.
Der Ansatz zur Bestimmung der Form einer Fläche ist natürlich, daß man möglichst genaue Karten von allen Teilen macht, und dann aus der Gesamtheit aller Karten versucht auf die Gesamtform zu schließen. Mathematisch formuliert: man zerlegt die Fläche in Dreiecke und versucht aus Eigenschaften der Dreiecke auf die Anzahl der ‘Henkel’ der Fläche zu schließen.
Tatsächlich ist es eine Anwendung des Gauß-Bonnet-Theorems, daß man mittels Aufsummierungen der Krümmungen der Dreiecke (oder äquivalent der Innenwinkelsummen der Dreiecke) die Anzahl der Henkel bestimmen kann. Darauf werden wir später zurückkommen.
Heute beschreiben wir eine Möglichkeit, wie man aus einer Zerlegung einer Fläche in Dreiecke (oder auch 4-,5-,…Ecke) ohne genaue Messungen von Winkeln oder Krümmung auf die Anzahl der Henkel der Fläche schließen kann. (Wir erwähnen vorab, daß diese einfache Methode sich nicht auf 3-dimensionale Räume verallgemeinern läßt. Trotzdem ist sie sicher nicht uninteressant.)
Wir haben also eine Fläche, die in Polygone (Dreiecke oder 4-,5-,…Ecke) zerlegt ist. Dann kann man natürlich abzählen, wie viele Ecken E, Kanten K und Flächen F es gibt.
Letzte Woche hatten wir gesehen, daß für alle platonischen Körper E-K+F=2 ist.
Ist dies nun eine Besonderheit platonischer Körper oder gilt diese Gleichung für alle Körper? Als ein Beispiel eines nicht völlig regelmäßigen Körpers kann man etwa den Fußball betrachten. Dieser besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, insgesamt also F=32 Flächen. Die Zahl der Ecken und Kanten könnte man notfalls abzählen, man kann sie sich aber auch wie folgt überlegen. Insgesamt haben die Flächen zusammen 12×5 + 20×6 = 180 Kanten. Jede Kante kommt in 2 Flächen vor, wird bei dieser Rechnung also doppelt gezählt. Also gibt es K=90 Kanten. Mit derselben Rechnung haben alle Flächen zusammen 180 Ecken. Jede Ecke gehört zu genau drei Flächen, wie man im Bild sieht. Also gibt es E=60 Ecken. Wie man sieht, ist wieder E-K+F=60-90+32=2.
(Anmerkung: Fußbälle in der beschriebenen Form waren der Standard von 1970 bis 2005. Seit 2006 werden Fußbälle nicht mehr genäht, sondern mit einer Thermo-Klebetechnik zusammengefügt. Dadurch sind jetzt auch Bälle mit weniger Ecken und größeren Flächen möglich.)
Diese Fläche kommt übrigens auch in der Chemie vor. Das einfachste und am besten erforschte Fulleren ist das Buckminster-Fulleren C60, dessen Moleküle genau so angeordnet sind, daß sie in den Ecken eines (traditionellen) Fußballs sitzen.
Eine Klassifikation aller Fußballmuster, d.h. Flächen aus 5-und 6-Ecken (so daß jedes 5-Eck von 6-Ecken umgeben ist und jedes 6-Eck abwechselnd 5- und 6-Ecke berührt), findet man hier und Computeranimationen von Fußballmustern kann man bei Michael Trott betrachten.
Man kann sich weitere konvexe Körper hernehmen, ihren Rand in Polygone (Vielecke) zerlegen, und wird feststellen, daß immer E-K+F=2. (Das ist jetzt natürlich nur eine experimentelle Beobachtung und noch kein Beweis.)
Was ist aber, wenn wir eine Fläche mit Henkeln, z.B. einen Torus, in Polygone zerlegen?
Dieser Torus besteht aus 160 Vierecken, also F=160. Jede Kante gehört zu 2 Flächen, also K=320. Jede Ecke gehört zu 4 Flächen, also E=160. Damit ist E-K+F=0.
Wenn man sich andere Zerlegungen des Torus in Polygone hernimmt, wird man ebenfalls immer E-K+F=0 erhalten. (Auch das ist jetzt natürlich nur eine experimentelle Beobachtung von Beispielen und noch kein Beweis.)
Und wenn man eine Fläche mit g Henkeln nimmt, zum Beispiel eine Brezel (g=2) und sie in Polygone zerlegt, wird man feststellen, daß E-K+F=2-2g ist. (Das behaupte ich jetzt einfach mal. Sie werden aber kein Gegenbeispiel finden. Zum Beweis dieser und der vorigen Behauptungen kommen wir nächste Woche.)
Mit der Kenntnis dieser Formeln ist es nun sehr einfach, die topologische Gestalt einer Fläche zu bestimmen, ohne die Fläche verlassen zu müssen. Man zerlege einfach die Fläche in Dreiecke, zähle danach die Ecken, Kanten und Flächen und berechne E-K+F. Danach kann man die Gleichung 2-2g=E-K+F einfach nach g, der Anzahl der Henkel, auflösen.
Zum Beispiel wenn man auf der Fläche im Bild oben lebt, dann zählt man eben E=160,K=320,F=160, berechnet E-K+F=0, löst die Gleichung 2-2g=0 nach g auf, und erhält g=1. Die Fläche hat also nur einen Henkel (wie man als dreidimensionales Wesen natürlich auch schon durch einfaches ‘Draufschauen von außen’ festgestellt hatte).
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