Eine originelle Veranschaulichung der Summe 1/2+1/4+1/8+…=1 findet man auf “Big Ideas”, der Seite eines Londoner Debattierklubs..
In der 11. Klasse lernt man, unendliche Summen wie
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + …
zu berechnen.
Am einfachsten geht es natürlich brachial mit vollständiger Induktion: man zeigt induktiv, daß
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + (1/2)n = 1 – (1/2)n ist.
Die rechte Seite konvergiert gegen 1, wenn n gegen Unendlich geht.
Also ist die Summe der unendlichen Reihe gleich 1.
(Wenn man schon weiß, daß die Reihe konvergiert, geht natürlich auch diese elegantere Rechnung:
1/2 + 1/4 + 1/8 + … =
2(1/2 + 1/4 + 1/8 + …)-(1/2 + 1/4 + 1/8 + …)=
(1+1/2 + 1/4 + 1/8 + …)-(1/2 + 1/4 + 1/8 + …)=1.)
Eine originelle anschauliche Erklärung dieser Summe findet man bei “Big Ideas”:
Ein Quadrat mit Seitenlänge 1 hat natürlich Flächeninhalt 1. Das erste Rechteck hat Seiten der Länge 1 und 1/2, also Fläche 1/2; das zweite Rechteck hat Seiten der Länge 1/2 und 1/2, also Fläche 1/4; das dritte Rechteck Seiten der Länge 1/2 und 1/4, also Fläche 1/8 usw.
Es wird immer eine Seite halbiert, die andere bleibt gleich. Jedes Rechteck hat also halb so große Fläche wie sein Vorgänger. Weil die Rechtecke das Quadrat (mit Fläche 1) komplett ausfüllen, ist also 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
Bei “big ideas” findet man noch andere Visualisierungen z.B. zu arithmetischen Reihen und zum Satz des Pythagoras.
Und auch noch eine zu 1/3 + 1/9 + 1/27 + … = 1/2:
Die zur Summe beitragenden Flächen sind unten grün schraffiert. Offensichtlich machen sie genau die Hälfte des Quadrats aus: von den beiden großen Rechtecken rechts und links wird nur eines gezählt, von den nächstgrößeren oben und unten ebenfalls nur eines usw.
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