Topologie von Flächen LI

Von Thilo / 6. Februar 2009 / 5 Kommentare

Längen- und Winkelmessung auf Flächen.

Aus der 12. Klasse weiß man, daß sich in der Geometrie der Ebene (oder natürlich auch des 3-dimensionalen Raumes) alles aus dem Skalarprodukt (x,y)¹ berechnen läßt:

Die Länge IIxII eines Vektors x läßt sich berechnen mit der Formel IIxII²=(x,x). Und der Winkel α zwischen zwei Vektoren läßt sich berechnen mit der Formel cos(α)IIxIIIIyII=(x,y).

Und die Länge einer Kurve kann man berechnen, in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert.

Wenn man eine Fläche im 3-dimensionalen Raum hat, läßt sich das alles natürlich übertragen. Kurven oder Winkel auf dieser Fläche kann man dann ganz normal mit dem Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum berechnen.

Wobei man eigentlich gar nicht das Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum braucht, sondern nur das Skalarprodukt auf den Tangentialebenen der Fläche (Bild unten). Also: man hat die Skalarprodukte auf den Tangentialebenen der Fläche (an jedem Punkt der Fläche) und kann daraus bereits alles berechnen.

Quelle: https://www2.scc-fl.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForSection127.htm

In TvF 10 ging es schon um den abstrakten Zugang zu Flächen: Man denkt sich Flächen aus Karten-Gebieten zusammengesetzt (so wie die Oberfläche der Erde aus Gebieten zusammengesetzt ist, die sich auf Landkarten abbilden lassen).

Quelle: https://www.schelklingen2000.werner-knoben.de/HTMLDoku/node5.html

Der seit Riemanns Habilitationsvortrag übliche Zugang zu Flächen ist, sich Flächen nicht als im 3-dimensionalen Raum liegend zu denken, sondern sich Flächen als aus (in der Ebene liegenden) Landkarten wie im Bild oben zusammengesetzt zu denken. (Es gibt dabei natürlich Punkte der Fläche, die in mehreren Landkarten vorkommen.)

Zu jedem Punkt hat man dann eine Tangentialebene (die man sich einfach als Tangentialebene an die Landkarte denkt, also einfach eine Kopie der flachen Ebene)

und Riemanns Zugang zur Geometrie war dann, die Längen- und Winkelmessung auf der (abstrakten) Fläche auf die Längen- und Winkelmessung in den Tangentialebenen zurückzuführen. Mehr dazu nächste Woche.

Riemann hatte sein Konzept dann auch noch auf 3- und mehr-dimensionale “Riemannsche Mannigfaltigkeiten” verallgemeinert.
Prominenteste Anwendung von Riemanns Konzept ist natürlich die Raum-Zeit in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie. (Streng genommen handelt es sich hier nur um eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit: die Lorentz-Metrik ist kein Skalarprodukt, weil sie nicht positiv definit ist. Genauer: die Metrik ist positiv definit in Raum-Richtung und negativ definit in Zeit-Richtung.) Die Raum-Zeit läßt sich mit ihrer Metrik nicht als Teilmenge irgendeines höher-dimensionalen euklidischen Raumes auffassen.

¹(Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite, symmetrische, bilineare Abbildung wie das euklidische Skalarprodukt ((x₁,y₁),(x₂,y₂))=x₁x₂+y₁y₂ in der Ebene bzw.
((x₁,y₁,z₁),(x₂,y₂,z₂))=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂ im Raum.)

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Kommentare (5)

#1 Marilyn Wohlgemuth
12. April 2016

abs”

https://www.hpgmusical.com.br/correia-solid-sound-bones-tropicale-265c-1259/p?vc=15
#2 Frank Wappler
https://Nach.Abschluss.der.12.Klasse--weiß.man.mehr.
12. Mai 2017

Thilo schrieb (6. Februar 2009):
> […] Und die Länge einer Kurve kann man berechnen, in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert.

Sicherlich lässt sich die Länge einer bestimmten Kurve (also des Bildes bzw. des Wertebereiches eines bestimmten Weges, $f : [a, b] \to X$ ) als Grenzwert einer Folge von Schranken gewisser (Partial-)Summen berechnen:

$\hbox{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] := \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[$
$\underset{Z_n}{\hbox{sup}} \big[ \big\{ \sum_{k = 0}^{n} \, d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ] \, \big| \, Z_n := a = z_{(0)} \lt z_{(1)} \lt ... \lt z_{(n)} = b \, \big\} \, \big] \, \Big],$

worin $Z_n$ Zerlegungen des Intervals $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle (mit den Zwischenpunkten $z_{(k)}$ ) bezeichnen,
und $d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ]$ die Distanz zwischen zwei Elementen der Menge $X$ bezeichnet, die in einer bestimmten Zerlegung entlang des Weges $f$ aufeinanderfolgen; die z.B. auch “Länge des Sehnenvektors” genannt werden könnte.

Diese Berechnung mag ja durchaus an ein (Riemann-Darbouxsches) Integral erinnern;
und es lässt sich wohl formal entsprechend ausdrücken:

$\hbox{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] :=$
$\int_a^b \, {\rm d}z \, \left( \frac{d}{dt} \big[ \, \hbox{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right).$

Aber wäre dieses denn ein Integral “[der] Länge der Tangentialvektoren an die Kurve [über die Kurve]” ?

Hat ein Tangentialvektor (an eine bestimmte, geeignete Kurve, in einem bestimmten, geeigneten Punkt) denn überhaupt eine bestimmte (und von Null verschiedene) “Länge“; von vornherein ?

Oder wäre aus der Äquivalenzklasse von Tangentialvektoren (an eine bestimmte Kurve, in einem bestimmten Punkt), die alle möglichen (von Null verschiedenen) “Längen“-Werte hätten,
erst durch eine bestimmte Normalisierung ein geeigneter Repräsentant herauszusuchen, dem dann eine bestimmte “Länge” zuzuschreiben ist ?

(Die Normalisierung bzw. Zuschreibung

$\hbox{ Normierte Tangentenvektor-Länge} :=$
$\left( \frac{d}{dt} \big[ \, \hbox{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right)$

böte sich dafür zwar sicherlich an.
Dazu wäre es allerdings erforderlich, dass die dafür benötigten Werte der $\hbox{Kurven-Länge}$ gerade nicht erst dadurch berechnet würden, “in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert“;
sondern auf anderer Grundlage,
insbesondere basierend auf Werten von Distanzen $d : X \times X \to \mathbb R$, wie oben benutzt.)
#3 Frank Wappler
https://www.ma.rhul.ac.uk/akay/teaching/latex/
12. Mai 2017

Thilo schrieb (6. Februar 2009):
> […] Und die Länge einer Kurve kann man berechnen, in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert.

Sicherlich lässt sich die Länge einer bestimmten Kurve (also des Bildes bzw. des Wertebereiches eines bestimmten Weges, $f : [a, b] \to X$ ) als Grenzwert einer Folge von Schranken gewisser (Partial-)Summen berechnen:

$\text{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] := \underset{n \to \infty}{\text{lim}} \Big[$
$\underset{Z_n}{\text{sup}} \big[ \big\{ \sum_{k = 0}^{n} \, d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ] \, \big| \, Z_n := a = z_{(0)} \lt z_{(1)} \lt ... \lt z_{(n)} = b \, \big\} \, \big] \, \Big],$

wobei $Z_n$ Zerlegungen des Intervals $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle (mit den Zwischenpunkten $z_{(k)}$ ) bezeichnen,
und $d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ]$ die Distanz zwischen zwei Elementen der Menge $X$ bezeichnet, die in einer bestimmten Zerlegung entlang des Weges $f$ aufeinanderfolgen; die z.B. auch “Länge des Sehnenvektors” genannt werden könnte.

Diese Berechnung mag ja durchaus an ein (Riemann-Darbouxsches) Integral erinnern;
und es lässt sich wohl formal entsprechend ausdrücken:

$\text{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] :=$
$\int_a^b \, {\rm d}z \, \left( \frac{d}{dt} \big[ \, \text{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right).$

Aber wäre dieses denn ein Integral “[der] Länge der Tangentialvektoren an die Kurve [über die Kurve]” ?

Hat ein Tangentialvektor (an eine bestimmte, geeignete Kurve, in einem bestimmten, geeigneten Punkt) denn überhaupt eine bestimmte (und von Null verschiedene) “Länge“; von vornherein ?

Oder wäre aus der Äquivalenzklasse von Tangentialvektoren (an eine bestimmte Kurve, in einem bestimmten Punkt), die alle möglichen (von Null verschiedenen) “Längen“-Werte hätten, erst durch eine bestimmte Normalisierung ein geeigneter Repräsentant herauszusuchen, dem dann eine bestimmte “Länge” zuzuschreiben ist ?

(Die Normalisierung bzw. Zuschreibung

$\text{ Normierte Tangentenvektor-Länge} :=$
$\left( \frac{d}{dt} \big[ \, \text{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right)$

böte sich dafür zwar sicherlich an.
Dazu wäre es allerdings erforderlich, dass die dafür benötigten Werte der $\text{Kurven-Länge}$ gerade nicht erst dadurch berechnet würden, “in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert“;
sondern auf anderer Grundlage, insbesondere basierend auf Werten von Distanzen $d : X \times X \to \mathbb R$, wie oben benutzt.)
#4 Frank Wappler
https://Nach.Abschluss.der.12.Klasse--weiß.man.mehr.
12. Mai 2017

Thilo schrieb (6. Februar 2009):
> […] Und die Länge einer Kurve kann man berechnen, in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert.

Sicherlich lässt sich die Länge einer bestimmten Kurve (also des Bildes bzw. des Wertebereiches eines bestimmten Weges, $f : [a, b] \to X$ ) als Grenzwert einer Folge von Schranken gewisser (Partial-)Summen berechnen:

$\rm{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] := \underset{n \to \infty}{\rm{lim}} \Big[$
$\underset{Z_n}{\rm{sup}} \big[ \big\{ \sum_{k = 0}^{n} \, d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ] \, \big| \, Z_n := a = z_{(0)} \lt z_{(1)} \lt ... \lt z_{(n)} = b \, \big\} \, \big] \, \Big],$

worin $Z_n$ Zerlegungen des Intervals $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle (mit den Zwischenpunkten $z_{(k)}$ ) bezeichnen,
und $d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ]$ die Distanz zwischen zwei Elementen der Menge $X$ bezeichnet, die in einer bestimmten Zerlegung entlang des Weges $f$ aufeinanderfolgen; die z.B. auch “Länge des Sehnenvektors” genannt werden könnte.

Diese Berechnung mag ja durchaus an ein (Riemann-Darbouxsches) Integral erinnern;
und es lässt sich wohl formal entsprechend ausdrücken:

$\rm{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] :=$ $\int_a^b \, {\rm d}z \, \left( \frac{d}{dt} \big[ \, \rm{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right).$

Aber wäre dieses denn ein Integral “[der] Länge der Tangentialvektoren an die Kurve [über die Kurve]” ?

Hat ein Tangentialvektor (an eine bestimmte, geeignete Kurve, in einem bestimmten, geeigneten Punkt) denn überhaupt eine bestimmte (und von Null verschiedene) “Länge“; von vornherein ?

Oder wäre aus der Äquivalenzklasse von Tangentialvektoren (an eine bestimmte Kurve, in einem bestimmten Punkt), die alle möglichen (von Null verschiedenen) “Längen“-Werte hätten, erst durch eine bestimmte Normalisierung ein geeigneter Repräsentant herauszusuchen, dem dann eine bestimmte “Länge” zuzuschreiben ist ?

(Die Normalisierung bzw. Zuschreibung

$\rm{ Normierte Tangentenvektor-Länge} :=$
$\left( \frac{d}{dt} \big[ \, \rm{Kurven-Länge}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]|_{t = z} \right)$

böte sich dafür zwar sicherlich an.
Dazu wäre es allerdings erforderlich, dass die dafür benötigten Werte der $\rm{Kurven-Länge}$ gerade nicht erst dadurch berechnet würden, “in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert“;
sondern auf anderer Grundlage, insbesondere basierend auf Werten von Distanzen $d : X \times X \to \mathbb R$ , wie oben benutzt.)
#5 Frank Wappler
https://scienceblogs.de/mathlog/2013/12/04/mathe-apps-ix-latex-assistant/
12. Mai 2017

Thilo schrieb (6. Februar 2009):
> […] Und die Länge einer Kurve kann man berechnen, in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert.

Sicherlich lässt sich die Länge einer bestimmten Kurve (also des Bildes bzw. des Wertebereiches eines bestimmten Weges, $f : [a, b] \to X$ ) als Grenzwert einer Folge von Schranken gewisser (Partial-)Summen berechnen:

$\hbox{Kurven-L\"ange}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] := \underset{n \to \infty}{\hbox{lim}} \Big[$
$\underset{Z_n}{\hbox{sup}} \big[ \big\{ \sum_{k = 0}^{n} \, d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ] \, \big| \, Z_n := a = z_{(0)} < z_{(1)} < ... < z_{(n)} = b \, \big\} \, \big] \, \Big],$

worin $Z_n$ Zerlegungen des Intervals $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle (mit den Zwischenpunkten $z_{(k)}$ ) bezeichnen,
und $d[ \, f[ \, z_{(k)} \, ], f[ \, z_{(k + 1)} \, ] \, ]$ die Distanz zwischen zwei Elementen der Menge $X$ bezeichnet, die in einer bestimmten Zerlegung entlang des Weges $f$ aufeinanderfolgen; die z.B. auch "Länge des Sehnenvektors" genannt werden könnte.

Diese Berechnung mag ja durchaus an ein (Riemann-Darbouxsches) Integral erinnern;
und es lässt sich wohl formal entsprechend ausdrücken:

$\hbox{Kurven-L\"ange}[ \, \{ f[ \, [a, b] \, ] \} \, ] :=$ $\int_a^b \, {\rm d}z \, \left( \frac{d}{dt} \big[ \, \hbox{Kurven-L\"ange}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]\big|_{t = z} \right).$

Aber wäre dieses denn ein Integral "[der] Länge der Tangentialvektoren an die Kurve [über die Kurve]” ?

Hat ein Tangentialvektor (an eine bestimmte, geeignete Kurve, in einem bestimmten, geeigneten Punkt) denn überhaupt eine bestimmte (und von Null verschiedene) “Länge“; von vornherein ?

Oder wäre aus der Äquivalenzklasse von Tangentialvektoren (an eine bestimmte Kurve, in einem bestimmten Punkt), die alle möglichen (von Null verschiedenen) “Längen“-Werte hätten, erst durch eine bestimmte Normalisierung ein geeigneter Repräsentant herauszusuchen, dem dann eine bestimmte “Länge” zuzuschreiben ist ?

(Die Normalisierung bzw. Zuschreibung

$\hbox{ Normierte Tangentenvektor-L\"ange} :=$
$\left( \frac{d}{dt} \big[ \, \hbox{Kurven-L\"ange}[ \, \{ f[ \, [a, t] \, ] \} \, ] \, \big]\big|_{t = z} \right)$

böte sich dafür zwar sicherlich an.
Dazu wäre es allerdings erforderlich, dass die dafür benötigten Werte der $\hbox{Kurven-L\"ange}$ gerade nicht erst dadurch berechnet würden, “in dem man die Länge der Tangentialvektoren an die Kurve integriert“;
sondern auf anderer Grundlage, insbesondere basierend auf Werten von Distanzen $d : X \times X \to \mathbb R$ , wie oben benutzt.)