Es gibt also verschiedene Modelle der hyperbolischen Ebene. Aus mathematischer Sicht beschreiben diese Modelle alle dieselbe Fläche: Es gibt Isometrien zwischen den verschiedenen Modellen.
Man kann die Isometrien zwischen diesen verschiedenen Modellen ad hoc angeben, zum Beispiel bekommt man eine Isometrie vom Kreisscheiben-Modell zum Halbebenen-Modell durch die Abbildung (x,y)–>(2x/(x2+(y+1)2),2(y+1)/(x2+(y+1)2)-1).
Ganz allgemein hat Ambrose (aufbauend auf E.Cartan) bewiesen, daß eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit durch ihre (Schnitt-)Krümmung eindeutig festgelegt ist. (Präzise Formulierung hier.)
Insbesondere gibt es nur eine hyperbolische Ebene.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54
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