Der Menger-Schwamm ist ein ‘universelles 1-dimensionales Fraktal’ und kommt, wie jetzt gezeigt wurde, auch in der Gruppentheorie “mit überwältigender Wahrscheinlichkeit” vor.
Das oben abgebildete Fraktal ist der Menger-Schwamm. Er hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß man jede 1-dimensionale Kurve in diesem Fraktal finden kann. Wie schon lange vermutet und jetzt bewiesen wurde, kommt er auch in der Gruppentheorie als typischer ‘Rand’ von Gruppen vor.
| Zu einer Gruppe hat man ihren Cayleygraphen und dieser hat (oft) einen ‘Rand im Unendlichen'(bestehend aus den ‘Endpunkten’ unendlicher Strahlen im Graphen). Das Bild rechts oben zeigt den Cayley-Graph einer freien Gruppe. Der ‘Rand’ ist hier eine Cantor-Menge.Das Bild darunter zeigt eine Pflasterung der hyperbolischen Ebene. Die Symmetriegruppe dieser Pflasterung ist eine ‘diskrete, kokompakte Gruppe von hyperbolischen Isometrien’, ihren Cayley-Graphen bekommt man, in dem man in jeder Kachel einen Punkt nimmt und jeweils die Punkte in benachbarten Kacheln durch Kanten verbindet. Der ‘Rand’ des Graphen ist hier der Kreis, der die Kreisscheibe berandet. |   |
In den beiden Beispielen ist der Rand der Gruppe nicht sehr kompliziert und vermutlich ist es nicht so einfach, Gruppen zu beschreiben, deren Rand ein Menger-Schwamm ist. Es war aber schon lange vermutet worden, daß für ‘die meisten Gruppen’ der Rand ein Menger-Schwamm ist.
In einer gestern herausgekommenen Arbeit haben Francois Dahmani und Vincent Guirardel von der Universität Toulouse und Piotr Przytycki aus Warschau nun bewiesen, daß der Rand einer “zufälligen” Gruppe “mit überwältigender Wahrscheinlichkeit” der Menger-Schwamm ist.
Konkret heißt das folgendes: für eine Zahl d zwischen 0 und 1 nimmt man sich alle Gruppen mit n Erzeugern und (höchstens) dL Relationen der Länge (höchstens) L. Eine Eigenschaft P trifft (für das gewählte d) “mit überwältigender Wahrscheinlichkeit” zu, wenn für jedes n gilt: der Anteil der Gruppen mit der Eigenschaft P geht gegen 100% für L–>oo.
Gromov hatte gezeigt, daß man für d>1/2 mit überwältigender Wahrscheinlichkeit die triviale Gruppe oder die Gruppe mit 2 Elementen bekommt. (Siehe [3]).
Für d<1/2 bekommt man mit überwältigender Wahrscheinlichkeit eine hyperbolische Gruppe G (mit cd(G)=2).
In der Arbeit von Dahmani, Guirardel, Przytycki geht es deshalb um den Fall d<1/2.
Der Beweis baut auf der Arbeit [2] von M.Kapovich und B.Kleiner auf, die gezeigt hatten, daß es für 1-dimensionale Ränder hyperbolischer Gruppen nur 3 Möglichkeiten gibt: den Kreis, den Sierpinski-Teppich oder eben den Menger-Schwamm. In der neuen Arbeit werden jetzt die ersten beiden Möglichkeiten “mit überwältigender Wahrscheinlichkeit” ausgeschlossen.
Die erste Möglichkeit (Kreis) kann schon mit den Ergebnissen von Kapovich-Kleiner “mit überwältigender Wahrscheinlichkeit” ausgeschlossen worden. Dahmani-Guirardel-Przytycki schließen jetzt auch die zweite Möglichkeit (Sierpinski-Teppich) aus, indem sie (für alle dfixpunktfrei auf einem Baum wirken kann.
[1] François Dahmani, Vincent Guirardel, Piotr Przytycki: ‘No-splitting property and boundaries of random groups’, https://front.math.ucdavis.edu/0904.3854
[2] Michail Kapovich, Bruce Kleiner: ‘Hyperbolic groups with low-dimensional boundary’, Ann. Sci. Ecole Borm. Sup. (4) 33 (2000), no.5, 647-669, https://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_2000_4_33_5_647_0
[3] M.Gromov: ‘ Asymptotic invariants of infinite groups’, LMS Lect. Notes Series, vol.182, Cambrifge Universaity Press
Gromov, M. (2003). Random walk in random groups Geometric and Functional Analysis, 13 (1), 73-146 DOI: 10.1007/s000390300002
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