Konforme Abbildungen, elektrostatische Potentiale und Wissenschaftsphilosophie.

Beim Riemannschen Abbildungssatz geht es darum, daß man einfach zusammenhängende ebene Gebiete, wie unten gezeigt, konform auf die Eineits-Kreisscheibe abbilden kann. (‘Konform’ heißt, daß sich zwar Abstände ändern dürfen, aber Winkel gleich bleiben.)

Quelle:Ken Stephenson

(Allgemeiner ergibt sich dann, daß sich jede einfach zusammenhängende Fläche konform entweder auf die Sphäre, die gesamte Ebene oder die Einheits-Kreisscheibe abbilden läßt.)

Laplace-Gleichung, Dirichlet-Problem und physikalische Interpretation

Riemann war aufgefallen, daß man das Abbildungsproblem lösen kann, wenn man eine Lösung der Laplace-Gleichung zu bestimmten Randwerten hat.

Die Laplace-Gleichung

d²f/dx² + d²f/dy²=0,

abgekürzt Δ f=0
(der Laplace-Operator ist Δ=d²f/dx² + d²f/dy²),
in der Elektrodynamik oft auch geschrieben in der Form

div(grad(f))=0

beschreibt das elektrostatische Potential f in einem ladungsfreien Raum.

Elektrisches Feld im Plattenkondensator: https://www.physik.uni-kassel.de/1015.html

Die Aufgabe, zu vorgegebenen Randwerten (d.h. bekanntem Potential z.B. an der Oberfläche eines Leiters wie im Bild oben) das elektrostatische Potential im Inneren zu finden, heißt Dirichletsches Randwertproblem, die Lösungen heißen harmonische Funktionen

Wie gesagt, wenn man für eine Fläche das Dirichlet-Problem lösen kann, dann findet man auch die konforme Abbildung zur Einheitskreisscheibe. Das hatte Riemann in seiner Dissertation 1851 bewiesen.

Beweise und Wissenschaftsphilosophie nach Poincaré

Daß man das Dirichlet-Problem lösen kann, ist wohl aus Physiker-Sicht eine Selbstverständlichkeit. Man läßt einen Strom durch den Leiter (den Rand der Fläche) fließen und dann stellt sich eben im Inneren ein elektrostatisches Potential ein und dieses Potential ist die gesuchte Lösung der Laplace-Gleichung.

Auch Riemann hatte in seiner Dissertation die Lösbarkeit des Dirichlet-Problems für offensichtlich gehalten. (Allerdings berief er sich dabei nicht auf die physikalische Anschauung, sondern setzte als selbstverständlich voraus, daß es Funktionen geben muß, für die ein bestimmtes Integral den kleinstmöglichen Wert annimmt.)

Jedenfalls haben sich Mathematiker später mit diesem intuitiven “Beweis” nicht mehr zufrieden gegeben und Koebe und Poincaré gaben 1907 auch mathematische Beweise für die Lösbarkeit der Laplace-Gleichung und damit auch für den Riemannschen Abbildungssatz. (Streng genommen braucht man für die Lösbarkeit der Laplace-Gleichung, daß der Rand des Gebietes eine bestimmte Bedingung, die sogenannte Dirichlet-Regularität, erfüllt. Den Riemannschen Abbildunggsatz kann man aber trotzdem für beliebige Gebiete beweisen, weil man jedes Gebiet beliebig gut durch Gebiete mit Dirichlet-regulärem Rand annähern kann.)

Poincaré verarbeitete dieses Beispiel übrigens in seinem wissenschaftsphilosophischen Buch Der Wert der Wissenschaft, im Kapitel über ‘Anschauung und Logik in der Mathematik’:

“Ich wähle als zweites Beispiel das dirichletsche Prinzip, auf dem so viele Theorien der mathematischen Physik fußen; heute begründet man es durch sehr strenge, aber auch sehr lange Schlußfolgen, früher begnügte man sich mit einem summarischen Beweis. Ein gewisses Integral, das von einer willkürlichen Funktion abhängig ist, kann niemals gleich Null werden. Man schloß daraus, daß es einen kleinsten Wert haben müsse. Der Fehler dieser Folgerung zeigt sich uns sofort, da wir den abstrakten Ausdruck Funktion gebrauchen und da wir vertraut sind mit all den Singularitäten, die die Funktionen aufweisen können, wenn man das Wort in seiner allgemeinen Bedeutung nimmt.
Es wäre nicht so, wenn man sich konkreter Bilder bediente, wenn man zum Beispiel diese Funktion als elektrische Spannung betrachtete; man hätte für erlaubt gehalten zu behaupten, daß das elektrostatische Gleichgewicht erreicht werden wird. Vielleicht aber hätte ein physikalischer Vergleich doch einiges Mißtrauen erweckt. Wenn man sich aber bemüht hätte, diese Folgerung in die Sprache der Geometrie, der Vermittlerin zwischen der Sprache der Analysis und der Sprache der Physik, zu übertragen, so hätten sich diese Zweifel sicher nicht gezeigt, und vielleicht könnte man auf diese Weise sogar noch heute unbefangene Leser finden.”

Wenn man das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung lösen kann, dann kann man auch den Riemannschen Abbildungssatz beweisen, siehe Fußnote¹. Das ist der (analytische) Beweis, wie er heute meist in den Lehrbüchern steht. Inzwischen gibt es auch geometrische Beweise (mit Kreispackungen), dazu nächste Woche.

¹: Angenommen, auf einem Gebiet Y kann man die Laplace-Gleichung mit vorgegebenen Randwerten lösen, dann ergibt sich der Riemannsche Abbildungssatz, also die Konstruktion einer biholomorphen (=konformen) Abbildung f:Y–>D², wie folgt:
nehme einen Punkt y in Y und eine holomorphe Funktion g, die in y ihre einzige Nullstelle (1.Ordnung) hat. Betrachte jetzt das Dirichlet-Problem für die Laplace-Gleichung auf Y mit Randwerten log Ig(y)I auf dem Rand von Y. Dafür gibt es eine Lösung u.
Bekanntlich ist jede harmonische Funktion u der Realteil einer holomorphen Funktion: u=Re(h). Definiere dann f:=e^-hg.
Man kann leicht nachrechnen, daß IfI=1 auf dem Rand von Y ist. (Das folgt aus u=log IgI.) Aus dem Maximumprinzip für harmonische Funktionen folgt IfI<1 in Y, also bildet f tatsächlich Y auf die Einheitskreisscheibe ab. Man kann leicht beweisen, daß f jeden Wert gleich oft annimmt, und daß f=0 nur in y gilt. Also nimmt f jeden Wert genau einmal an, woraus man herleiten kann, daß es biholomorph ist. (Forster: Riemannsche Flächen)
Wie gesagt, man kann die Lösbarkeit des Dirichlet-Problems (und damit den Riemannschen Abbildungssatz) beweisen für Gebiete mit sogenanntem Dirichlet-regulärem Rand. Der Riemannsche Abbildungssatz für beliebige einfach zusammenhängende Flächen ergibt sich dann wie folgt: man approximiert die (nichtkompakte) Fläche durch eine Folge von Teilgebieten mit Dirichlet-regulärem Rand, für jedes dieser Gebiete hat man eine Abbildung auf die Kreisscheibe, die Folge der Abildungen konvergiert nach Reskalierung entweder gegen eine Abbildung auf die Ebene oder gegen eine Abbildung auf die Kreisscheibe.
(Im Fall kompakter Flächen zeigt man mit einem anderen Argument, daß man eine Abbildung auf die Sphäre hat.)

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