Topologie von Flächen LXV

“Sie sehen, Madame, es fehlt mir nicht an Gründlichkeit und Tiefe. Nur mit der Systematik will es noch nicht so recht gehen. Als ein echter Deutscher hätte ich dieses Buch mit einer Erklärung seines Titels eröffnen müssen, wie es im Heiligen Römischen Reiche Brauch und Herkommen ist. (Heine: Reisebilder )

Phidias hat zwar zu seinem Jupiter keine Vorrede gemacht, ebensowenig wie auf der Mediceischen Venus – ich habe sie von allen Seiten betrachtet – irgendein Zitat gefunden wird; – aber die alten Griechen waren Griechen, unsereiner ist ein ehrlicher Deutscher, kann die deutsche Natur nicht ganz verleugnen, und ich muß mich daher noch nachträglich über den Titel meines Buches aussprechen.

Diese werden wieder eingeteilt in – doch das wird sich alles schon finden.” (Heine: Reisebilder )

Wir hatten in den letzten Wochen einige Beispiele von Überlagerungen gebracht und sollten diese jetzt wohl auch (wie Heine) in die allgemeine Theorie einordnen. Also:

Wie gesagt (TvF 62), eine Überlagerung eines Raumes über einem anderen sieht lokal so aus, als ob der “obere” Raum aus Kopien des “unteren” Raumes besteht. (Global können die Kopien aber auf komplizierte Weise verbunden sein.)

Der Hauptsatz der Überlagerungstheorie besagt, daß es zu jeder Fläche (oder allgemein auch zu jeder höher-dimensionalen Mannigfaltigkeit) eine einfach zusammenhängende Überlagerung¹ gibt². (‘Einfach zusammenhängend’ heißt, daß die Fundamentalgruppe aus nur einem Element besteht, anschaulich: jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in einen Basispunkt deformieren; siehe TvF 31 für eine Zusammenfassung.)

Einfach zusammenhängende Flächen sind die Sphäre und die Ebene bzw. Kreisscheibe³. Zu jeder Fläche muß es also eine Überlagerung durch die Sphäre oder die Ebene bzw. Kreisscheibe geben.

Das sind die Beispiele aus den letzten Wochen: Die Brezel wird von der Kreisscheibe überlagert (TvF 64), der Torus wird von der Ebene überlagert (Teil 63) und die Sphäre natürlich von sich selbst.

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Flächen mit mehreren Henkeln werden übrigens ebenfalls von der Kreisscheibe überlagert.

Aus topologischer Sicht ist die Überlagerungstheorie von Flächen damit eigentlich abgeschlossen. Aus geometrischer Sicht geht es aber noch weiter. Wie wir in den letzten beiden Wochen veranschaulicht hatten, sind die Symmetrien der Überlagerung des Torus (Bild Mitte) auch Symmetrien der euklidischen Metrik der Ebene, und die Symmetrien der Überlagerung der Brezel (Bild oben) sind Symmetrien der hyperbolischen Metrik auf der Kreisscheibe. (Womit man dann eine euklidische resp. hyperbolische Metrik auf dem Torus resp. der Brezel bekommt.)

Daß dies auch allgemein (für Flächen mit mehreren Henkeln) so funktioniert, ergibt sich aus dem Riemannschen Abbildungssatz. Dazu nächste Woche.

Bilder: https://mathworld.wolfram.com/UniversalCover.html,
https://images.math.cnrs.fr/Geometriser-l-espace-de-Gauss-a.html,
https://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=313

¹ die sogenannte ‘universelle Überlagerung’
² Der ‘Hauptsatz der Üerlagerungstheorie’ besagt dann weiter, daß es eine 1:1-Beziehung zwischen Überlagerungen von X und Untergruppen der Fundamentalgruppe π1₁X gibt. Das ist aber ein anderes Thema.
³ Aus topologischer Sicht sind die Ebene und die offene Kreisscheibe eigentlich gleich (homöomorph), aber die Symmetrien der unten abgebildeten Überlagerungen lassen sich so getrennt besser sehen.

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