Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?
Vor 2 Wochen, in TvF 67, hatten wir über den Riemannschen Abbildungssatz geschrieben, und vorher in TvF 66 auch schon darüber. wie man mit dem Riemannschen Abbildungssatz Metriken konstanter Krümmung auf Flächen bekommen kann.
Im Grunde geht das bei Flächen aber auch viel einfacher, ohne Überlagerungstheorie und Riemannschen Abbildungssatz.
(Nur daß sich diese einfache Methode dann nicht mehr auf 3-dimensionale Räume verallgemeinern läßt. D.h. eigentlich läßt sie sich schon verallgemeinern und man kann die 3-dimensionale Verallgemeinerung auch erfolgreich für Computeralgorithmen nutzen, nur mit den Beweisen hapert es noch.)
Beginnen wir mit dem Torus. In TvF 5 (lang ist’s her) hatten wir gesehen, wie man den Torus aus einem Viereck durch Verkleben gegenüberliegender Seiten bekommt.
Auf dem Viereck hat man natürlich eine Metrik (im Sinne von TvF 51) mit Krümmung 0. An den Seiten werden je zwei Halbräume mit Krümmung 0 zusammengeklebt, lokal bekommt man also auch einen Raum mit Krümmung 0. Und die vier Ecken werden zu einem Punkt zusammengeklebt, wobei sich die vier 90o-Winkel zu einem Vollwinkel von 2π=360o addieren. Die flache (euklidische) Metrik der Ebene gibt also eine flache Metrik auf dem Torus.
Versuchen wir das selbe für die Brezelfläche.
Die Fläche mit 2 Henkeln (Brezel) bekam man durch Verkleben von Seiten eines Achtecks.
Kann man jetzt, auf die selbe Weise wie beim Torus, auf der Brezel eine Metrik mit Krümmung 0 bekommen? Nein, kann man nicht. Denn alle 8 Ecken des Achtecks entsprechen demselben Punkt auf der Brezel und die Innenwinkel des Achtecks addieren sich aber zu 6π=1080o. Diese flache Metrik auf der Brezel hätte also um einen Punkt einen Winkel von 1080o und das geht natürlich nicht.
(Man kann mit dem Gauß-Bonnet-Theorem beweisen, daß es auch nicht auf irgendwelche andere Art möglich ist, eine flache Metrik auf der Brezel zu bekommen.)
Anders ist es in der hyperbolischen Geometrie. Dort ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks π-Flächeninhalt, die Innenwinkelsumme eines Achtecks also 6π-Flächeninhalt.
Für ein Achteck der passenden Größe (nämlich mit Flächeninhalt 4π) ist also die Innenwinkelsumme gerade 2π.
Und wenn man jetzt in diesem hyperbolischen Achteck die Seiten verklebt, bekommt man also eine
Metrik mit Krümmung -1 (denn lokal sieht es ja aus wie in der hyperbolischen Ebene)
und dem richtigen Vollwinkel 2π um den ‘Eckpunkt’ auf der Brezel.
Ähnlich geht es für eine Fläche mit g Henkeln (g mindestens 2). Diese bekommt man aus einem 4g-Eck durch Verkleben der Seiten. Man nimmt dann ein 4g-Eck in der hyperbolischen Ebene mit Innenwinkelsumme 2π (dafür muß der Flächeninhalt 4(g-1)π sein) und bekommt damit eine Metrik mit Krümmung -1 auf der Fläche.
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