‘Echte’ Trommeln
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Die ersten Beispiele von unterschiedlichen geschlossenen Flächen mit denselben Eigenwerten des Laplace-Operators wurden 1980 von Marie-France Vigneras gefunden, es handelte sich um bestimmte (mit arithmetischen Methoden konstruierte) hyperbolische Flächen und der Beweis benutzte die Selbergsche Spurformel.
(16- bzw. 12-dimensionale Beispiele waren schon früher von Milnor bzw. Kneser gefunden worden.) Dazu in den nächsten beiden Wochen. Die Frage nach ‘echten’ Trommeln (also Flächen mit Rand, die im 3-dimensionalen Raum liegen), die dieselben Eigenwerte des Laplace-Operators haben, wurde erst 1992 von Gordon-Webb-Wolpert gelöst. Sie fanden Beispiele von Flächen mit Rand (nämlich die beiden Flächen rechts oben, oder als ein anderes Beispiel das Paar rechts unten), die nicht isometrisch sind, aber die selben Eigenwerte des Laplace-Operators haben. |
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