I’m obsessed with triangles. (Lady Gaga on her heartbreaks-headphone design, 7.9.2009)

www.preisbewertung.de/wp-content/uploads//2009/09/Heartbeats-By-Lady-Gaga.gif, Foto: Monster Cable

Von Dreiecken besessen

Die Meldung von der Internationalen Funkausstellung diese Woche in Berlin

(“ Kopfhörer, die den komprimierungsverstümmelten Dateien wieder mehr Sound geben sollen. “Heartbeats” heißen die von der Sängerin persönlich designten Stöpsel mit Glitterverbrämung, die an Reflektoren auf Schülerjacken erinnern, aber bei Gaga natürlich Teil eines Gesamtkunstwerks sind. […] Außerdem sei sie von Dreiecken besessen“, stern)

paßt heute zufällig zum Thema, wo es auch darum geht, wie man alles (oder jedenfalls große Teile der Geometrie) aus Dreiecken aufbauen kann.

Aufbau der Geometrie aus dem Dreiecksvergleich

Letzte Woche hatten wir darüber geschrieben, daß Dreiecke in negativ gekrümmten Flächen “dünner” sind als die Vergleichs-Dreiecke in der euklidischen Ebene.

Dreiecke sind um so dünner, je negativer die Krümmung ist.

Aus diesem ‘Axiom’ kann man große Teile der Geometrie negativ gekrümmter Flächen ableiten.

CAT(0)-Räume

Formal benutzt man den Dreiecksvergleich für eine
“synthetische” Definition von Krümmung ≤ 0:
man sagt, ein metrischer Raum ist CAT(0), wenn Dreiecke dünner sind als Vergleichsdreiecke in der euklidischen Ebene.

(“Vergleichsdreiecke” sind Dreiecke mit denselben Seitenlängen. Ein Dreieck ist “dünner”, wenn es kleineren Inkreisradius hat, siehe letzte Woche.)

“CAT(0)” ist also zunächst nur ein anderer Name für nichtpositive Krümmung, d.h. Krümmung ≤ 0.

Viele Sätze über Flächen mit Krümmung ≤ 0 (z.B. die Eindeutigkeit von Geodäten, vgl. letzte Woche) kann man aber schon aus diesem Axiom über Vergleichsdreiecke ableiten, ohne die eigentliche Definition von Krümmung (über den Riemann-Tensor) zu benötigen.

Und während Krümmung nur mittels Differentialrechnung definiert und berechnet werden kann (und nur auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten definiert ist), kann man den Dreiecksvergleich auch auf andere metrische Räume anwenden.

Damit hat man sozusagen eine Definition von Krümmung (zumindest von Krümmung ≤ 0) für beliebige Räume (auch solche, die keine Riemannsche Mannigfaltigkeit sind und auf denen man vielleicht gar keine Differentialrechnung machen kann.) Die vielleicht spektakulärste Anwendung dieses Konzepts ist in der Gruppentheorie, Gromows Theorie der hyperbolischen Gruppen (Gruppen, deren Cayleygraph negative Krümmung hat). Dazu nächste Woche.

Die Bezeichnung CAT(0) geht auf Gromow zurück, der diesen von Alexandrov stammenden Ansatz in den 80er Jahren weiterentwickelte, und soll für “Cartan, Alexandrov, Toponogov” (oder nach anderen Quellen für “Comparison, Alexandrov, Triangles”) stehen. (Das Abelpreis-Kommittee bezeichnete dieses Jahr Gromow’s Beiträge zur Geometrie als “revolutionary change”. Über die Abelpreis-Verleihung hatten wir hier geschrieben. Spektrum-Abonnenten können auch diesen zweiteiligen Artikel lesen.)

Krümmung ohne Differentialrechnung

Analog hat man eine “synthetische” Definition von Krümmung ≤ -1: man sagt, ein metrischer Raum ist CAT(-1), wenn Dreiecke dünner sind als in der hyperbolischen Ebene.

Und allgemein: CAT(k)-Räume (in denen Dreiecke dünner sind als Vergleichsdreiecke in einer Fläche mit Krümmung konstant k) verallgemeinern Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Krümmung ≤ k.

Eine sehr lesbare Einführung in diesen ‘Aufbau der Geometrie aus dem Dreiecksvergleich’ findet man in der Einleitung dieser Buchbesprechung von Bruce Kleiner:

The study of nonpositively curved spaces goes back to the discovery of hyperbolic space, the work of Hadamard around 1900, and Cartan’s work in the 20’s. These spaces play a significant role in many areas: Lie group theory, combinatorial and geometric group theory, dynamical systems, harmonic maps and vanishing theorems, geometric topology, Kleinian group theory, and Teichmüller theory. In some of these contexts {for instance in dynamics and in harmonic map theory} nonpositive curvature turns out to be the right condition to make things work smoothly, while in others such as Lie theory, 3-manifold topology, and Teichmüller theory, the basic objects of study happen to be nonpositively curved spaces.

One point of view which has been quite influential in recent years is that it is fruitful to work with “synthetic” conditions which are equivalent to nonpositive sectional curvature in the Riemannian case, rather than sectional curvature itself. Though this idea (and the analog for spaces with lower curvature bounds) goes back to A. D. Alexandrov, it was Gromov [Gro87] who brought it to the attention of a much wider audience in the 80’s. The most popular alternate condition is a triangle comparison inequality which says that “sufficiently small geodesic triangles are at least as thin as corresponding Euclidean triangles”.
The precise version runs as follows […]

Working with Alexandrov spaces rather than nonpositively curved manifolds has several advantages. Most of the foundational material carries over to the more general setting with only minor modifications, and the proofs, which are no longer allowed to use objects that depend on smooth structure (the Levi-Civita connection, Jacobi fields), sometimes become simpler. […]

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