“If you loose your key in hyperbolic space, you never find it back.”

Auseinanderdriften von Geodäten, Jacobi-Gleichung und Brownsche Bewegung.

Krümmung ist, wie wir in TvF 48ff. mal geschrieben hatten, durch Formeln definiert, deren anschauliche Bedeutung nicht unmittelbar einleuchtet.

Vorletzte Woche hatten wir darüber geschrieben, daß kleinere (d.h. “negativere”) Krümmung anschaulich bedeutet, daß Dreiecke “dünner” werden.

Letztlich liegt das daran, daß bei negativerer Krümmung Geodäten schneller auseinanderdriften.

”

Wenn man sich (in einer Fläche mit konstanter Krümmung k) zwei Geodäten anschaut, die sich zum Zeitpunkt 0 schneiden, dann beträgt ihr Abstand zum Zeitpunkt t:
– C sin(kt) – – falls k positiv
– Ct – – falls k=0
– C sinh(-kt) – – falls k negativ.
(C hängt vom Winkel ab. Siehe den letzten Absatz unten für die Herleitung dieser Formeln aus der Jacobi-Gleichung.)

Also:
bei positiver Krümmung bleibt der Abstand beschränkt,
bei flacher Krümmung wächst der Abstand linear,
bei negativer Krümmung wächst der Abstand exponentiell, nämlich näherungsweise wie Ce^-kt/2.

Es ist sicher anschaulich klar, daß bei exponentiell auseinanderdriftenden Geodäten dann auch das Volumen von Kugeln in negativ gekrümmten Räumen exponentiell mit dem Radius wachsen sollte. Dazu nächste Woche.

Brownsche Bewegung

Eine andere Konsequenz ist, daß Irrfahrten (wie die Brownsche Bewegung) nicht zum Ausgangspunkt zurückkehren.

“If you loose your key in hyperbolic space, you never find it back” brachte es mal ein Prof bei einer Sommerschule auf den Punkt.

Mathematisch geht es dabei um folgendes: Eine Irrfahrt ist eine zufällige Bewegung, bei der man jederzeit seine Richtung zufällig wählt (d.h. alle Richtungen sind gleichwahrscheinlich). Kann man dann (mit Wahrscheinlichkeit 1) davon ausgehen, daß man immer wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt?

Diese Frage war 1912 von Polya untersucht worden, siehe https://www.amt.canberra.edu.au/biogpolya.html: “Inspired by walks in the woods near Zurich, Pólya in 1912 published one of his major results, the solution of the random walk problem. In this problem one walks in an infinite rectangular grid system, at each node having an equal probability of walking to each of the adjoining nodes on his next leg. Pólya was able to show that in the two dimensional case it was almost certain (but with probability 1) that one would eventually return to the original position.”

Polya veröffentlichte sein Ergebnis 1921 (auf Deutsch) in den “Mathematische Annalen” unter dem Titel “Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz”.

Also: in der euklidischen Ebene (aber nicht im 3-dimensionalen Raum) kommt man mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft zu der Stelle zurück, wo man seinen Schlüssel verloren hat. (Man sagt: die Brownsche Bewegung in der Ebene ist “rekurrent”.)

Vorgerechnet wird das z.B. auf Seite 8/9 in de la Harpe’s Buch. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit im 3-dimensionalen Raum wird dort mit 0.35 angegeben.

Allgemein ist es so, daß die Rückkehrwahrscheinlichkeit eng mit dem Volumenwachstum zusammenhängt (dazu nächste Woche). Insbesondere ist die Brownsche Bewegung in negativ gekrümmten Räumen nicht-rekurrent (“transient”).

Jacobi-Gleichung

Noch kurz zum mathematischen Hintergrund der auseinanderdriftenden Geodäten.

Das Auseinanderdriften von Geodäten wird durch die Jacobi-Gleichung beschrieben.

Das Setting ist dabei folgendes: man hat eine Menge von Geodäten, die von einem Parameter s abhängen. (Den Zeitparameter der Geodäten nennt man t.)
H(t,s) ist dann die Geodäte mit Parameter s, zum Zeitpunkt t:

Die Ableitung dH/dt ist natürlich die Tangente T an die jeweilige Geodäte.
Die Ableitung dH/ds ist das sogenannte Jacobi-Feld J(t,s). Die Größe des Jacobi-Felds mißt, wie schnell die Geodäten auseinanderdriften.

Die Jacobi-Gleichung sagt:
J”+ R(J,T)T=0
wobei R der Riemannsche Krümmungstensor ist. Bei konstanter Krümmung K vereinfacht sich das zu
J”+KJ=0.

Für K=0 hat J”=0 (wegen J(0)=0) nur lineare Lösungen: J(t)=Ct, die Konstante C ist dabei die Ableitung in 0: C=J'(0).
Für K=1 hat J”+J=0 die Lösungen J(t)=C sin(t).
Für K=-1 hat J”-J=0 die Lösungen J(t)= C sinh(t).