Am Freitag haben Jeremy Kahn und Vladimir Markovic eine Arbeit auf dem arxiv veröffentlicht, in der eine abgeschwächte Form der ‘Virtuell Haken’-Vermutung für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen wird.

Schon in der Schule versteht man 3-dimensionale Körper am besten, indem man ihre Schnitte mit Ebenen (2-dimensionalen Unterräumen) anschaut.
Ähnlich ist es in der Topologie 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten, wo (in die 3-Mannigfaltigkeit eingebettete) Flächen ein sehr nützliches Hilfsmittel sind.
Damit die eingebetteten Flächen F wirklich etwas über die Topologie der 3-Mannigfaltigkeit M aussagen, sollen sie “inkompressibel” sein, d.h. &pi₁F–>&pi₁M injektiv sein (anschaulich: es gibt keine Teile von F, die sich in M zusammendrücken lassen).

Haken-Mannigfaltigkeiten

3-Mannigfaltigkeiten, in denen es solche inkompressible Flächen gibt, heißen Haken-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Wolfgang Haken. (Haken hatte 1961 einen Algorithmus zur Klassifikation von Haken-Mannihgfaltigkeiten veröffentlicht, der Triangulierungen und Normalflächen benutzt, allerdings nicht wirklich praktikabel ist. Haken arbeitete lange bei Siemens, gilt als ein Begründer der ‘Algorithmischen Topologie’ und wurde 1976 durch den Beweis des 4-Farben-Satzes mit Appel bekannt.)

Das 2-dimensionale Analog zu 3-dimensionalen Haken-Mannigfaltigkeiten: jede Fläche kann entlang inkompressibler Kurven in eine einfachere Fläche (und letztlich in 2-dimensionale Kugeln) zerlegt werden.

Wenn man eine Haken-Mannifaltigkeit M entlang einer inkompressiblen Fläche F aufschneidet, bekommt man eine 3-Mannigfaltigkeit mit geringerer Komplexität als M, die wieder eine Haken-Mannigfaltigkeit ist. Wenn man diese neue Mannigfaltigkeit wieder entlang einer Fläche aufschneidet und diese Prozedur mit der dann erhaltenén 3-Mannigfaltigkeit wiederholt usw., erhält man nach endlich vielen Schritten eine Vereinigung von 3-dimensionalen Kugeln.
Deshalb kann man Beweise topologischer Aussagen für Haken-Mannigfaltigkeiten mit vollständiger Induktion führen. Der Induktionsanfang besteht im Beweis der Aussage für 3-dimensionale Kugeln, und der Induktionsschritt beweist die Aussage für M unter der Annahme, daß sie für die durch Aufschneiden entlang F erhaltene 3-Mannigfaltigkeit gilt.

Haken-Mannigfaltigkeiten sind gut verstanden, weil man Beweise auf diese induktive Art führen kann. Zum Beispiel hatte Thurston mittels eines Induktionsbeweises die Geometrisierungtsvermutung für Haken-Mannigfaltigkeiten bewiesen, wofür er 1982 die Field-Medaille erhielt. (Für die Details des Beweises erhielt dann noch 1998 McMullen die Fields-Medaille, weitere Beiträge stammen von Otal.)
Ein anderes Beispiel eines Induktionsbeweises ist Waldhausens Beweis des Starrheitssatzes: Haken-Mannigfaltigkeiten sind eindeutig bestimmt durch ihre Fundamentalgruppe.

Es ist bekannt, daß (in einem statistischen Sinne) nur ein sehr kleiner Teil aller 3-Mannigfaltigkeiten M Haken-Mannigfaltigkeiten sind. Andererseits ist es für Anwendungen oft ausreichend, wenn M eine endliche Überlagerung hat, die eine Haken-Mannigfaltigkeit ist. (Man sagt dann M ist ‘virtuell Haken’.) Zum Beispiel haben Gabai-Meyerhoff-N.Thurston 1997 bewiesen, daß sich Thurstons Beweis der Geometrisierungsvermutung auf ‘virtuelle Haken’-Mannigfaltigkeiten ausdehnen läßt.

Es stellt sich also die Frage, wieviele 3-Mannigfaltigkeiten eine endliche Überlagerung haben, die eine Haken-Mannigfaltigkeit ist.

Die ‘Virtuell Haken’-Vermutung

Die ‘Virtuelll Haken Conjecture’ (VHC) besagt:
jede geschlossene 3-Mannigfaltigkeit hat eine endliche Überlagerung, die eine Haken-Mannigfaltigkeit ist.

(Es würde genügen zu beweisen, daß es eine endliche Überlagerung mit b₁>0 gibt. Denn damit bekommt man eine 1-dimensionale Kohomologieklasse, die unter Poincare-Dualität einer Fläche entspricht, welche man mit Chirurgien inkompressibel machen kann.
Eine stärkere Version der VHC ist die Frage, ob es zu jeder geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit endliche Überlafgerungen mit beliebig großen Werten von b₁ gibt.
Eine andere stärkere Version, zu der es zwar bisher keine Gegenbeispiele gibt, an deren Richtigkeit aber kaum jemand glaubt, ist die Frage, ob es zu jeder geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit sogar eine endliche Überlagerung gibt, die ein Flächenbündel über S¹ ist.)

Eine schwächere Version der VHC besagt, daß die Fundamentalgruppe jeder geschlossenen 3-Mannigfaltigkeit eine Flächengruppe (d.h. die Fundamentalgruppe einer geschlossenen Fläche) enthält. In diesem Fall kann man leicht zeigen, daß es eine Abbildung der Fläche in die 3-Mannigfaltigkeit gibt, welche aber Selbstschnitte haben kann.

Fläche mit Selbstschnitten

Es ist klar, daß man dann eine Fläche (ohne Selbstschnitte) in der Universellen Überlagerung bekommt, aber man kann bisher nicht beweisen, daß es dann eine Fläche ohne Selbstschnitte schon in einer endlichen Überlagerung gibt.

Diese schwächere Version (also daß es zumindest eine Fläche mit Selbstschnitten gibt) ist jetzt von Kahn und Markovic für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen worden. Sie beweisen sogar, daß man für jedes ε>0 eine ε-quasigeodätische Fläche (mit Selbstschnitten) findet.

Zum Beweis der eigentlichen VHC für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten ist das möglicherweise ein entscheidender Schritt. Um aus der von Kahn und Markovic bewiesenen schwächeren Version auf die eigentliche VHC zu schließen, müßte man beweisen, daß die Fundamentalgruppen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten LERF (locally extended residually finite) sind. Diese Frage ist offen, Teilresulate wurden aber kürzlich von Bergeron und Wise bewiesen.

Zusammenfassungen des Beweises von Kahn und Markovic findet man hier und hier. Der Zusammenhang zwischen verschiedenen Versionen der Vermutung wird hier erklärt.

Bilder:
1. https://mathworld.wolfram.com/Torus.html
2. https://en.wikipedia.or/wiki/File:MorinSurfaceAsSphere%27sInsideVersusOutside.PNG

Kahn, J., & Markovic, V. (2012). Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold Annals of Mathematics, 175 (3), 1127-1190 DOI: 10.4007/annals.2012.175.3.4