Topologie von Flächen XCVI

“j is the letter representing ambition. They readily take on any task they think will help them reach their goals more quickly.” (Quelle)

Vor 3 Wochen hatten wir schon mal erklärt, wie man eine elliptische Kurve aus einem Torus bekommt und hatten erwähnt, daß man jede (komplexe) elliptische Kurve auf diese Weise erhält.
Der Grund dafür ist letztlich, daß die sogenannte j-Invariante jeden möglichen Wert annimmt:

Elliptische Kurven sind ja Kurven mit einer Gleichung y²=x³+ax+b
(und 4a³+27b² nicht Null).

Wie ich letzte Woche vielleicht nicht klar genug gesagt habe, können unterschiedliche Gleichungen durchaus “die selben” (d.h. isomorphe) Kurven geben.

Ob zwei Gleichungen dieselbe (also eine isomorphe) Kurve ergeben, erkennt man an der j-Invariante, die durch die Formel
j=2⁸3³a³/(4a³+27b²)
definiert ist. Zwei Gleichungen geben genau dann isomorphe Kurven, wenn die j-Invarianten denselben Wert ergeben.

Wenn man sich (wie in TvF 93) eine elliptische Kurve durch ein Gitter L gegeben denkt
(also, wenn (P,P’/2): C/L –> E
einen Isomorphismus des Torus C/L zur elliptischen Kurve E gibt, wobei P die Weierstraßsche p-Funktion des Gitters L ist),
dann stellt sich natürlich die Frage, wie die j-Invariante vom Gitter abhängt. Also, wenn wir uns das Gitter (cf. TvF 93) von 1 und τ erzeugt denken (z.B. im Bild unten das von 1 und τ=0.5+0.86…i erzeugte Gitter) – wie hängt dann die j-Invariante von τ ab?

© M.Holzapfel

Tatsächlich gibt es für die j-Funktion j(τ) einen geschlossenen Ausdruck (mit Hilfe von Theta-Funktionen) und die so definierte Funktion j(τ) kommt in der Mathematik an vielen Stellen vor, dazu später.

Das Bild unten veranschaulicht den Graphen der j-Funktion (die Farben entsprechen den Funktionswerten), man erkennt gut daß die j-Funktion SL(2,Z)-invariant ist, d.h. es gilt j(Az)=j(z) für alle A aus SL(2,Z) bzgl. der in TvF 90 beschriebenen Wirkung von SL(2,Z).

© Jan Homann

Zurück zu elliptischen Kurven: wir hatten schon mal erwähnt, daß jede (komplexe) elliptische Kurve ein Torus ist, also von einem Gitter kommt.
Also: zu jeder Kurve y²=x³+ax+b soll es ein Gitter geben, dessen Eisensteinreihen¹ G₄ und G₆ gerade die Werte a/15 und b/35 haben.

Um das zu beweisen, genügt es zu jedem Wert der j-Invariante ein Gitter zu finden, mit anderen Worten: zu beweisen, daß die Abbildung j:H/SL(2,Z)–>C surjektiv ist.
(Man weiß, wie sich die Eisensteinreihen bei Multiplikation des Gitters mit λ ändern: G₄ wird mit λ^-4 multipliziert und G₆ mit λ^-6 – daraus kann man leicht herleiten, daß man zu passendem j jeden Wert von G₄ und G₆ realisieren kann.)

Den Beweis der Surjektivität der j-Invariante findet man z.B. in Kapitel 5.8. von Freitag-Busam. Tatsächlich ist j:H/SL(2,Z)–>C sogar eine Bijektion der in TvF 91 beschriebenen “Modulkurve” auf die komplexe Ebene.

¹Wenn eine elliptische Kurve y²=x³+ax+b von einem Gitter L kommt, dann sind die Koeffizienten der Kurve gerade a=15G₄ und b=35G₆, wobei G₄, G₆ die sogenannten Eisensteinreihen des Gitters sind.

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