Eine lebensnahere Variante von Zenon’s Paradoxon.
| Der Artikel zur Mathematischen Hausnummer war neulich lebhaft diskutiert worden.
Letztlich ging es um das “Basel-Problem”, die Berechnung von Σ∞n=1 1/n2. |
©2009 *TheLastDanishPastry: We moved into a new house |
Sautoy erklärt die Lösung des Basel-Problems nun (in der BBC) anhand von Wodkagläsern.
Unendlich viele Wodkagläser, aber nur endlich viel Inhalt
(1.6… – “that’s still quite a lot of vodka” kommentiert Sautoy).
Denselben Effekt kennt man seit der Antike als Xenon’s Paradoxon (Achilles und die Schildkröte) – eine endliche Strecke läßt sich in unendlich viele (immer kleinere) Teilstrecken zerlegen.
Genauer gesagt, handelt es sich hier um abzählbar unendlich viele Gläser, aus denen endlich viel Wodka getrunken wird.
Ist es auch möglich, endlich viel Wodka aus überabzählbar unendlich vielen Gläsern zu trinken? Erstaunlicherweise wird diese Frage in Uni-Vorlesungen nie behandelt. (Ich bin neulich zufällig auf diese Frage gestoßen in Zusammenhang mit einem ganz anderen Thema, nämlich einer Arbeit über Flächen im hyperbolischen Raum. In einem technischen Beweis wurde benutzt, daß eine Strecke eine Region zwischen zwei Flächen nur abzählbar oft schneiden kann, weil die Summe der Längen der Schnittintervalle endlich ist.)
Wie gesagt, in Analysis I wird diese Frage nicht behandelt, aber die Antwort ist dann doch sehr einfach: es ist nicht möglich, endlich viel Wodka aus überabzählbar vielen Gläsern zu trinken, d.h. es ist nicht möglich, eine endliche Summe in überabzählbar viele positive Summanden zu zerlegen. Der Beweis: Wenn die Summe endlich ist, dann gibt es zunächst für jede positive Zahl r nur endlich viele Summanden größer r. Die Menge der positiven Summanden ist aber die Vereinigung (über alle natürlichen Zahlen n) der Summanden größer 1/n, also eine abzählbare Vereinigung endlicher Mengen, also abzählbar.
Es gibt also keine überabzählbare Version der Geschichte von Achilles und der Schildkröte..
PS: Die Stupidedia erklärt ‘Unendlich’ übrigens so:
Unendlich, auch ∞ genannt, ist eine verdammt große Zahl. Entstanden ist Unendlich, als irgendein besoffener Mathematiker versucht hat, x durch 0 zu teilen.
Wissenschaftler (Verwandte der Wissenschafter) behaupten, es gäbe unendlich viele Sterne im Universum. Andere behaupten, unendlich viele Sterne zu sehen, wenn sie Alkohol konsumieren.
Einige Theologen, die auch Mathematik studiert haben, haben bewiesen, dass zwei oder mehr Parallelen im Punkt Unendlich aus Holz sind und eine Schleife bilden.
Bedenkt man, dass erfahrene Mathematiker entgegen aller Logik behaupten, dass Unendlich + 1 = Unendlich ist, wird erkennbar wie unendlich langweilig das Leben eines Mathematikers sein muss (und wie unendlich unlogisch die Welt ist (oder zumindest wie endlich die Mathematik).
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