Wie stabil ist das Sonnensystem?
Vor 2 Wochen hatten wir darüber geschrieben, wie man mit Singularitätentheorie (aka Katastrophentheorie) die Komplemente von Torusknoten durch Flächen fasern kann. (Vor 3 Wochen hatten wir über andere Anwendungen von Katastrophen geschrieben.)
Torusknoten veranschaulichen auch eine andere Art von Katastrophen (die aber nicht direkt mit Singularitäten zu tun hat), nämlich die Instabilität dynamischer Systeme.
Bei der Stabilitätstheorie dynamischer Systeme geht es klassisch um Fragen wie: Ist unser Sonnensystem stabil? Was passiert, wenn sich die Ausgangsbedingungen ein wenig ändern? Bekommt man dann langfristig ganz andere Bahnen? Bekommt man überhaupt wieder periodische Bahnen?
In der Physik hat man ja Erhaltungssätze (zumindest Energierhaltung), die dazu führen, daß die Bewegung im Phasenraum nicht völlig beliebig ist, sondern man immer auf den Energieflächen bleiben muß. Bei integrablen Systemen (das sind die, die besonders viele Erhaltungsgrößen haben), ist diese “Energiefläche” (d.h. die durch die Erhaltungsgrößen gegebene Hyperfläche) immer ein Torus. (In der Regel natürlich kein 2-dimensionaler Torus, sondern ein höher-dimensionalerer, nämlich genau die halbe Dimension des Phasenraums.) Um die Dynamik integrabler Hamiltonscher Systeme zu verstehen, sollte man also Dynamik auf (höherdimensionalen) Tori verstehen. Der 2-dimensionale Torus ist dafür natürlich das erste einfache Beispiel, sozusagen das ‘Toy Example’.
Einen 2-dimensionalen Torus als Energiefläche bekommt man z.B. beim 2-dimensionalen harmonischen Oszilator, in diesem Fall ist die Bewegung auf der Energiefläche gerade ein ‘linearer Fluß’, d.h. er wird beschrieben durch die Differentialgleichung
|
x’=1, y’= α
mit einer Konstanten α |
F”ur α= 3/2 bekommt man als Flußlinie den unten abgebildeten (3,2)-Torusknoten.
Ähnlich bekommt man für eine rationale Zahl α=p/q als Flußlinie einen (p,q)-Torusknoten.
Andererseits: wenn α irrational ist, dann kann die Flußlinie nie wieder zum Nullpunkt zurückkehren: angenommen, man käme nach q Umläufen zum Nullpunkt zurück, dann wäre qα ein ganzahliges Vielfaches von 1, also müßte α eine rationale Zahl sein.
Für rationale α hat man also geschlossene (d.h. periodische) Orbits, für irrationale α
aber nicht. Das ist insofern bemerkenswert, daß ja rationale und irrationale Zahlen sehr dicht beeinander liegen und man also innerhalb (jeder) Meßgenauigkeit gar nicht entscheiden kann, ob die Ausgangsbedingungen zu einem rationalen oder irrationalen α führen.
Man spricht hier von ‘struktureller Instabilität’ des Systems: kleine Änderungen können zu einer Bewegung mit topologisch anderen Eigenschaften führen. Die Frage, welche dynamischen Systeme “strukturell stabil” sind, wird z.B. in Smales Übersichtsartikel “Differentiable dynamical systems” diskutiert.
‘Strukturelle Stabilität’ hat übrigens nichts mit Stabilität des Systems selbst zu tun. Der periodische Fluß auf dem Torus ist stabil in dem Sinne, daß nahe beeinander liegende Punkte während des Flusses immer nahe beeinander bleiben, aber er ist strukturell instabil, weil geringfügigere Änderungen des Systems zu einem ganz anderen Fluß führen.
Im Beispiel des 2-dimensionalen harmonischen Oszillators sind übrigens bei irrationalem α die Flußlinien nicht nur nicht-periodisch, sondern sie liegen sogar dicht in der Energiefläche, d.h. kommen beliebig dicht an jedem Punkt des Torus vorbei.
Die Animation zeigt, wie der Fluß langfristig fast den gesamten Torus ausfüllt:
Interessant ist, daß hier zahlentheoretische Eigenschaften auf versteckte Weise ins Spiel kommen: ob die Orbits periodisch sind oder nicht hängt ja davon ab, ob der Anstieg eine rationale oder irrationale Zahl ist.
Auch bei der (natürlich viel komplizierteren) Frage nach der Stabilität des Sonnensystems spielen zahlentheoretische Eigenschaften eine Rolle. Nach der KAM-Theorie (benannt nach Kolmogorow, Arnold, Moser) hängt die Stabilität leicht gestörter Hamiltonscher Systeme von den zahlentheoretischen Eigenschaften bestimmter Resonanzen ab. Als Ergebnis bekommt man immerhin, daß die instabilen Energieflächen viel seltener sind, auf ‘fast allen’ Energieflächen ist die Bewegung stabil.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123
Letzte Kommentare