Hyperbolische Dynamik und Strukturelle Stabilität.
Gestern war der 80. Geburtstag von Stephen Smale, der 1960 die höher-dimensionale Poincaré-Vermutung (d.h. das Analog zur Poincaré-Vermutung für mindestens 5-dimensionale Räume) bewiesen hatte, mit Methoden aus Morsetheorie und dynamischen Systemen.
In dieser “Topologie von Flächen”-Reihe soll es ja eigentlich darum gehen, den Nutzen der (die Poincaré-Vermutung umfassenden) Geometrisierungs-Vermutung für 3-Mannigfaltigkeiten am einfacheren Beispiel der Flächen zu diskutieren.
(s. z..B. TvF 21 zur Poincaré-Vermutung und TvF 46 zu Geometrisierung)
Der Morsetheoretische Zugang zur Topologie von Flächen wird da auch noch mal irgendwann rankommen (zumal man die topologische Klassifikation der Flächen mit Morsetheorie sehr elegant beweisen kann), aber jetzt paßt es nicht so richtig in die Reihe.
Nur zur historischen Einordnung: Smale hatte (in Dimension mindestens 5) mit Morse-Theorie den sogenannten h-Kobordismus-Satz bewiesen, aus dem die Poincaré-Vermutung leicht folgt. In Dimension 3 funktionieren seine Methoden nicht. In Dimension 2 bekommt man aber mit Morse-Theorie einen eleganten Beweis für die Klassifikation der Flächen, viel kürzer als die klassischen Beweise.
Wir sind hier ja seit mindestens 50 Wochen damit befaßt, allerlei Anwendungen der Geometrisierung, vor allem der hyperbolischen Geometrie auf Flächen, durchzugehen. Da paßt zwar die Morse-Theorie und der “dynamische” Beweis der höher-dimensionalen Poincaré-Vermutung jetzt nicht richtig hinein, andere Beispiele aus der Theorie “dynamischer Systeme” aber schon:
In TvF 74 hatten wir mal über “hyperbolische Dynamik” geschrieben:
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z.B. auf der hyperbolischen Ebene: man läßt Vektoren in Richtung der roten Geodäte fließen, dabei rücken die blauen Vektoren während des Flußes immer dichter zusammen, wogegen die grünen Vektoren sich während des Flusses immer weiter voneinander entfernen.
Das “diskrete” Analogon zu hyperbolischer Dynamik sind Anosov-Diffeomorphismen: z.B. die “Katzen-Abbildung” im Bild unten: es handelt sich hier um eine Selbstabbildung des Torus (der Torus ist das Einheitsquadrat verklebt entlang gegenübelriegender Seiten), die in einer Richtung dehnt und in der anderen Richtung staucht.
Das Bild soll die Iteration dieser Abbildung nach 1,3,132,…,300 Schritten darstellen.
In Wirklichkeit ist die Abbildung nicht periodisch. Die Bilder sind nur eine Näherung.
(Übrigens werden Selbstabbildungen des Torus durch Matrizen aus SL(2,Z) beschrieben, womit ein weiterer Bezug zur hyperbolischen Geometrie hergestellt wäre.)
Letzte Woche hatten wir über “strukturelle Stabilität” von dynamischen Systemen geschrieben, z.B. ob das Sonnensystem stabil ist oder ob lineare Flüße auf dem Torus (wie sie beim 2-dimensionalen harmonischen Oszillator vorkommen) stabil sind.
Strukturelle Stabilität dynamischer Systeme war das Arbeitsgebiet von Smale in den 60er Jahren: es geht darum, ob eine geringfügige Störung eines “dynamischen Systems” (d.h eines Flusses oder “diskretisiert” der Iteration einer Abbildung f:M–>M) zu einem topologisch äquivalenten System führt. (“Topologisch äquivalent” heißt: es gibt einen Homöomorphismus von M, so daß die Orbits des gestörten dynamischen Systems auf die
Orbits des ursprünglichen Systems abgebildet werden.)
Wir hatten in TvF 74 mal erwähnt, daß ‘hyperbolische Dynamik’ ein besonders gut verstandenes Teilgebiet der Theorie dynamischer Systeme ist. Es ist also nicht erstaunlich, daß auch die Fragen der “strukturellen Stabilität” dort bereits lange gelöst sind: Anosov-Diffeomorphismen sind strukturell stabil. Wenn man also die Katzen-Abbildung ein bißchen abändert, bekommt man im Prinzip wieder dieselbe Abbildung (die Bilder wären im Prinzip dieselben, nur evtl. etwas verzerrt).
Die strukturelle Stabilität der Anosov-Diffeomorphismen wurde von Anosov bewiesen, einen kurzen, auf Moser zurückgehenden, Beweis findet man in Appendix A von Smales Übersichtsartikel “Differentiable dynamical systems”.
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