Die analoge Aussage für Bilinearformen auf dem R2 ist eine elementare Übungsaufgabe: wenn π eine irrationale Zahl ist, dann gibt es (zu jedem positiven ε) ganze Zahlen x,y mit Ix2-πy2I < ε.
Im Fall von 3 (oder mehr) Dimensionen gibt es aber keinen elementaren Beweis.
Die Oppenheim-Vermutung folgt dort aus der Raghunathan-Vermutung angewandt auf G=SL(3,R), Γ=SL(3,Z), H=SO(2,1).
Der Zusammenhang zwischen Ratner’s Theorem (=Raghunathan-Vermutung) und Oppenheim-Vermutung ist wie folgt. Es gibt bekanntlich reelle Zahlen x,y,z mit b((x,y,z),(x,y,z))=0. Sei A eine Matrix in SL(3,R), die (1,0,0) auf (x,y,z) abbildet. SO(b) ist eine zu SO(2,1) konjugierte Untergruppe von SL(3,R) und hat also ebenfalls abgeschlossene Orbiten in SL(3,R)/SL(3,Z). Aus der Dichtheit des Orbits folgt, dass es B in SL(3,Z) und U in SO(b) gibt, so dass UA nahe an B ist. Der Vektor B(1,0,0) hat ganzzahlige Einträge. Weil U die quadratische Form b invariant läßt, ist b(UA(1,0,0),UA(1,0,0))=0 und damit b(B(1,0,0),B(1,0,0)) nahe an 0.
Der für die Oppenheim-Vermutung benötigte Spezialfall der Raghunathan-Vermutung wurde schon 1987 von Margulis bewiesen.
Wie gesagt, die allgemeine Version von Ratner’s Theorem ist einer der meist-angewandten mathematischen Sätze, in Zahlentheorie, elliptischen Kurven, Lie-Gruppen etc.pp. (In meiner Doktorarbeit hatte ich einen einfachen Spezialfall auch mal auf ein topologisches Problem angewandt.)
Um hier noch ein letztes Mal einen Bezug zu den aktuellen Fieldsmedaillen (nämlich der von Elon Lindenstrauss) herzustellen: ein scheinbar elementares zahlentheoretisches Problem, daß sich aus Ratner’s Theorem nicht herleiten ließ, war die Littlewood-Vermutung. Diese läßt sich zwar ebenfalls in eine Frage über Orbits auf einem homogenen Raum übersetzen, aber die Antwort folgt eben nicht aus der Raghunathan-Vermutung, sondern benötigt einen neuen Beweis, der (für “viele” Fälle) von Einsiedler-Katok-Lindenstrauss geführt wurde.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130
Letzte Kommentare