Gruppen-Präsentationen
In den letzten Wochen hatten wir uns mit Selbstabbildungen von Flächen befaßt. Die sogenannten Homöomorphismen (d.h. stetige Selbstabbildungen, die eine stetige Umkehrabbildung haben) bilden eine Gruppe, die sogenannte Abbildungsklassenggruppe der jeweiligen Fläche. (Wobei Abbildungen als gleich angesehen werden, wenn sich die eine stetig in die andere “homotopen” läßt.)
Wir hatten vor 2 Wochen erwähnt, daß man jeden orientierungs-erhaltenden Homöomorphismus einer Fläche zerlegen kann in eine Hintereinanderausführung von Dehn-Twists. (Das Bild unten zeigt einen Dehn-Twist an der violetten Kurve.)
Wie kann man diese Zerlegung in Dehn-Twists nutzen, um die Gruppen-Struktur der Abbildungsklassengruppe zu beschreiben?
Es ist in der Topologie üblich, Gruppen durch Erzeuger und Relationen zwischen diesen Erzeugern anzugeben. D.h. es gibt einige Elemente (die ‘Erzeuger’), so daß jedes andere Gruppenelement durch geeignete Multiplikationen aus diesen Erzeuger entsteht, und es gibt aber evtl. noch ‘Relationen’, also Gleichungen zwischen Produkten von Erzeugern.
Die Gruppe präsentiert man dann als G=< g1,g2,…I r1,r2,…>, wobei g1,g2,.. die Erzeuger und r1,r2,… die Relationen zwischen den Erzeugern sind.
Zum Beispiel die ganzen Zahlen präsentiert man als Z=< zI->, d.h. Erzeuger z=1, keine Relation.
Die Restklassen modulo 3 präsentiert man als Z/3Z=< zIz+z+z=0>, d.h. Erzeuger z=1 und Relation z+z+z=0.
Die Gruppe der Paare ganzer Zahlen präsentiert man als Z2=< a,bIa+b=b+a>, d.h Erzeuger a=(1,0),b=(0,1) und eine Relation a+b=b+a.
Die Abbildungsklassengruppe einer Fläche wird von den Dehn-Twists erzeugt und, wie wir letzte Woche gesehen hatten, gibt es viele komplizierte Relationen zwischen diesen Erzeugern.
Alle Relationen zu finden, also tatsächlich eine Präsentierung der Abbildungsklassengruppe anzugeben, ist nicht einfach und wurde erstmals 1980 von Hatcher und Thurston erreicht.
Die Hatcher-Thurston-Präsentation war zu kompliziert, um ‘praktisch’ nützlich zu sein, inzwischen kennt man aber handhabbarere Präsentierungen der Abbildungsklassengruppen, wie die 1983 von Wajnryb gefundene:
Quelle
Die Frage nach den gruppentheoretischen Eigenschaften der Abbildungsklassengruppe oder nach den Eigenschaften einzelner Abbildungen (z.B. wann mehrere Hintereinanderausführungen von Dehn-Twists dieselben Abbildungen ergeben) beantwortet diese Präsentierung aber noch nicht automatisch: es ist ein schwieriges algorithmisches Problem, diese Fragen (das sogenannte Isomorphismusproblem und das sogenannte Wortproblem) aus der Präsentation der Gruppe zu beantworten – dazu nächste Woche.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136
Kommentare (1)