Gruppen-Präsentationen

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In den letzten Wochen hatten wir uns mit Selbstabbildungen von Flächen befaßt. Die sogenannten Homöomorphismen (d.h. stetige Selbstabbildungen, die eine stetige Umkehrabbildung haben) bilden eine Gruppe, die sogenannte Abbildungsklassenggruppe der jeweiligen Fläche. (Wobei Abbildungen als gleich angesehen werden, wenn sich die eine stetig in die andere “homotopen” läßt.)
Wir hatten vor 2 Wochen erwähnt, daß man jeden orientierungs-erhaltenden Homöomorphismus einer Fläche zerlegen kann in eine Hintereinanderausführung von Dehn-Twists. (Das Bild unten zeigt einen Dehn-Twist an der violetten Kurve.)

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Wie kann man diese Zerlegung in Dehn-Twists nutzen, um die Gruppen-Struktur der Abbildungsklassengruppe zu beschreiben?

Es ist in der Topologie üblich, Gruppen durch Erzeuger und Relationen zwischen diesen Erzeugern anzugeben. D.h. es gibt einige Elemente (die ‘Erzeuger’), so daß jedes andere Gruppenelement durch geeignete Multiplikationen aus diesen Erzeuger entsteht, und es gibt aber evtl. noch ‘Relationen’, also Gleichungen zwischen Produkten von Erzeugern.
Die Gruppe präsentiert man dann als G=< g1,g2,…I r1,r2,…>, wobei g1,g2,.. die Erzeuger und r1,r2,… die Relationen zwischen den Erzeugern sind.
Zum Beispiel die ganzen Zahlen präsentiert man als Z=< zI->, d.h. Erzeuger z=1, keine Relation.
Die Restklassen modulo 3 präsentiert man als Z/3Z=< zIz+z+z=0>, d.h. Erzeuger z=1 und Relation z+z+z=0.
Die Gruppe der Paare ganzer Zahlen präsentiert man als Z2=< a,bIa+b=b+a>, d.h Erzeuger a=(1,0),b=(0,1) und eine Relation a+b=b+a.

Die Abbildungsklassengruppe einer Fläche wird von den Dehn-Twists erzeugt und, wie wir letzte Woche gesehen hatten, gibt es viele komplizierte Relationen zwischen diesen Erzeugern.
Alle Relationen zu finden, also tatsächlich eine Präsentierung der Abbildungsklassengruppe anzugeben, ist nicht einfach und wurde erstmals 1980 von Hatcher und Thurston erreicht.
Die Hatcher-Thurston-Präsentation war zu kompliziert, um ‘praktisch’ nützlich zu sein, inzwischen kennt man aber handhabbarere Präsentierungen der Abbildungsklassengruppen, wie die 1983 von Wajnryb gefundene:

Quelle

Die Frage nach den gruppentheoretischen Eigenschaften der Abbildungsklassengruppe oder nach den Eigenschaften einzelner Abbildungen (z.B. wann mehrere Hintereinanderausführungen von Dehn-Twists dieselben Abbildungen ergeben) beantwortet diese Präsentierung aber noch nicht automatisch: es ist ein schwieriges algorithmisches Problem, diese Fragen (das sogenannte Isomorphismusproblem und das sogenannte Wortproblem) aus der Präsentation der Gruppe zu beantworten – dazu nächste Woche.

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