Dynamik auf Flächen – periodisch, reduzibel und was noch?
Wir hatten in den letzten Wochen schon einiges über Selbstabbildungen von Flächen geschrieben, auch (z.B. TvF 135) daß man solche Selbstabbildungen zu verstehen versucht, indem man ihre Wirkung auf geschlossenen Kurven in der Fläche untersucht.
Man hat eine Selbstabbildung f:S–>S einer Fläche S und schaut sich an, was mit einer geschlossenen Kurve C passiert, also wie die Kurve f(C) aussieht. Man kann sich dann natürlich auch die iterierten Bilder anschauen, also f(f(C)), f(f(f(C))), f(f(f(f(C)))) und so weiter.
Es gibt natürlich Abbildungen f, für die alles recht überschaubar ist.
Die Fläche im Bild unten hat zum Beispiel eine Symmetrie der Ordnung 5 (die Drehung um 72o) und für diese Drehung f hat man dann natürlich f(f(f(f(f(C)))))=C für jede Kurve C.
Farb-Margalit
Solche Abbildungen, für die man nach endlich vielen Iterationen wieder die Identität bekommt, nennt man periodisch.
Darüber hinaus gibt es natürlich auch Abbildungen f, die manche Kurven C festlassen: f(C)=C.
Zum Beispiel ein Dehn-Twist (TvF 132) an einer Kurve D (z.B. an der oben in der Mitte des Zylinders liegenden violetten Kurve) läßt jede Kurve C, die den Zylinder um D nicht schneidet, fest: f(C)=C für jede Kurve C außerhalb des Zylinders. (Und natürlich auch f(D)=D für die violette Kurve D.)
Solche Abbildungen, die (mindestens) eine geschlossene (nicht zusammenziehbare) Kurve festlassen, nennt man reduzibel. (Z.B. alle Dehn-Twists sind reduzibel.)
Was für Selbstabbildungen von Flächen gibt es darüber hinaus, neben periodischen und reduziblen?
William Thurston kam in den 70er Jahren (nach eigener Aussage mit Hilfe extensiver Computer-Experimente) zu der Erkenntnis, daß für alle nicht-periodischen, nicht-reduziblen Abbildungen f:S–>S und alle geschlossenen Kurven C die Bildkurven f(C), f(f(C)), f(((C))), f(f(f(f(C)))), … immer komplizierter werden (z.B. wie im Bild oben und dann immer noch komplizierter) und letztlich ‘gegen eine Laminierung konvergieren’ (und das hat er dann auch bewiesen).
Was das genau heißt, insbesondere was eine “Laminierung” ist, werden wir nächste Woche diskutieren.
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