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Was wäre, wenn die Mathematik inkonsistent ist

Von / 10. Oktober 2010 / 23 Kommentare
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Einen recht provokanten Vortrag hat Vladimir Voevodsky vor 2 Wochen bei der 80-Jahr-Feier des IAS in Princeton gehalten.

Voevodsky ist eigentlich bekannt als ‘Erfinder’ der A1-Homotopietheorie, einem homotopietheoretischen Zugang zu algebraischen Varietäten über beliebigen Grundkörpern, und für den Beweis der Bloch-Kato-Vermutung.

In seinem Vortrag in Princeton ging es aber um ein anderes Thema, nämlich die Grundlagen der Mathematik.

Bekanntlich hatte Gödel ja 1930 (übrigens ziemlich genau einen Monat nach Gründung des IAS, an dem er später jahrzehntelang angestellt war) bewiesen, daß man die Konsistenz (Widerspruchsfreiheit) der Arithmetik nicht beweisen kann.

Voevodsky betrachtet Gödels Theorem nun nur als einen ersten Schritt zum Beweis der Inkonsistenz der meisten mathematischen Theorien.
Und er geht noch weiter: der Beweis der Inkonsistenz der mathematischen Grundlagen wäre für ihn ‘nicht das Ende der Welt, sondern eine Befreiung’.

Seine Schlußfolgerung:

What we need are foundations which can be used to construct reliable proofs despite being inconsistent.

Man solle Theorien bauen, die zwar nicht widerspruchsfrei sind, deren Ergebnisse aber den intuitiven Erwartungen möglichst nahekommen. (Diese sicher recht provokanten Thesen kommen gegen Ende des Vortrages, in Minute 43/44. Vorher geht es zunächst um logische Grundlagen und Gödels Unvollständigkeitssatz.)

Das Video als Online Stream (auf den Pfeil klicken):

  Watch Online

oder zum Herunterladen:

[file] Hi-Res 350.58 MB [file] Lo-Res 185.56 MB

Es gab bei der 80-Jahr-Feier des IAS übrigens noch 2 andere interessante Vorträge, nämlich “Verschwörungstheorien in der Medizin” (Video auf https://video.ias.edu/fassin-80th) und “Quanten, Symmetrie und Topologie” von Frank Wilczek (Video auf https://video.ias.edu/wilczek).

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Kommentare (23)

  1. #1 michael
    10. Oktober 2010

    Gibt es diese Vortäge auch als pdf ?

  2. #2 Peter
    10. Oktober 2010

    Gute Diskussion dazu gab’s bei Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/40920/what-if-current-foundations-of-mathematics-are-inconsistent (inkl. diverser Links).

  3. #3 Sputnic
    10. Oktober 2010

    Wäre es dann nicht sinnvoller, die Axiome zu fixen und die Beweise in das gefixte Axiomensystem rüber zu retten? Mit einer Inkonsistenz ließe sich doch jeder Schwachfug beweisen, so dass ungefixt die Mathematik nutzlos wäre

  4. #4 rolak
    10. Oktober 2010

    noch 2 andere interessante Vorträge

    Ich nehme doch stark an, daß diese Formulierung der ‘recent’-Liste in der sidebar zuzurechnen ist und in keiner Weise darauf hindeuten soll, daß der Rest der ⇒Geburtstagsreden uninteressant sei 😉

    Hi Sputnic, so ein Axiomensystem für die Arithmetik klebt gödelig am status quo.

  5. #5 MartinB
    10. Oktober 2010

    Und was wäre, wenn dieser Post aus der Zukunft käme?
    Auf meinem Kalender ist der 12.10. noch ein bisschen hin…

  6. #6 rolak
    10. Oktober 2010

    Ers ist im Urlaub, Zeitzonen und so. Außerdem: Wie pingelig – die Datumsangabe stimmt bei jedem Post nur einen Tag lang 🙂

  7. #7 Ulrich Berger
    10. Oktober 2010

    Für mich klingt das alles wie ein Aprilscherz, aber vielleicht verstehe ich irgendetwas nicht:

    1. Gödel hat nicht bewiesen, dass man die Konsistenz der Arithmetik nicht beweisen kann, sondern dass man dies nicht im Rahmen der Arithmetik beweisen kann.

    2. Dass die Arithmetik konsistent ist, hat Gentzen 1935 mittels transfiniter Induktion bewiesen: https://www.springerlink.com/content/wp114u6u6pg22200/

    3. Man solle Theorien bauen, die zwar nicht widerspruchsfrei sind, deren Ergebnisse aber den intuitiven Erwartungen möglichst nahekommen. Dieser Satz ergibt für mich keinen Sinn. Bekanntlich lässt sich aus einem Widerspruch beliebiges folgern. In einer inkonsistenten Theorie kann ich also zu jedem Theorem auch seine Verneinung beweisen. Wie sollten diese “Ergebnisse” dann den intutitiven Erwartungen “nahekommen”??

  8. #8 Georg Hoffmann
    10. Oktober 2010

    Kann mir einer Erklaeren, was der Unterschied zwischen Inkonsistent und Nicht-vollstaendig ist? Oder was waere ueberhaupt eine inkonsistente Theorie?

  9. #9 stoky
    10. Oktober 2010

    @Ulrich Berger:

    zu 1. ich glaub das haben einfach alle weggelassen aus Gründen der Einfachheit
    zu 2. in Minute 27:00 steht auf der Folie:
    “While Gentzen’s reduction argument leads to many very interesting developments it can not be used as a proof of consistency. In relation to the consistency issue the only thing which it shows is that any inconsistency will define a non-terminating decreasing sequence of “ordinal less that \varespilon_0”

    Bei 28:30 quält er sich, weil er das Argument, dass sowas ja nicht sein kann irgendwie nicht akzeptiert. Er sagt selber dass er da nich genau drauf eingehen kann, aber er behauptet wohl, dass der Beweis zwar richtig ist, aber nicht die Konsistenz beweist.

    zu 3. das hab ich in dem Vortrag auch nich wiedergefunden….

  10. #10 Ulrich Berger
    10. Oktober 2010

    @ Georg:

    Unvollständig heißt, dass es Aussagen A gibt, die im System weder beweisbar noch widerlegbar sind, also weder A noch not-A sind Theoreme. Das ist nicht so tragisch. Inkonsistent heißt, dass es Aussagen A gibt, sodass sowohl A als auch not-A beweisbar sind. Das ist tragisch, weil https://de.wikipedia.org/wiki/Ex_falso_quodlibet

  11. #11 Georg Hoffmann
    10. Oktober 2010

    @Ulrich
    Danke!

  12. #12 stoky
    10. Oktober 2010

    @Ulrich Berger:

    zu 1. ich glaub das haben einfach alle weggelassen aus Gründen der Einfachheit

    zu 2. in Minute 27:00 steht auf der Folie:
    “While Gentzen’s reduction argument leads to many very interesting developments it can not be used as a proof of consistency. In relation to the consistency issue the only thing which it shows is that any inconsistency will define a non-terminating decreasing sequence of “ordinal less that \varespilon_0”

    Bei 28:30 quält er sich, weil er das Argument, dass sowas ja nicht sein kann irgendwie nicht akzeptiert. Er sagt selber dass er da nich genau drauf eingehen kann, aber er behauptet wohl, dass der Beweis etwas für offensichtlich deklariert, was er für nicht offensichtlich hält.

    zu 3. das hab ich in dem Vortrag auch nich wiedergefunden….

  13. #13 stoky
    10. Oktober 2010

    Sorry für Doppelpost hab mich da verklickt.
    Der erste Post ist falsch, hatte da noch nicht weit genug gehört. Der erste Post und dieser hier dürfen gerne gelöscht werden 😉
    Editieren tut ja leider nicht…

  14. #14 Thilo
    10. Oktober 2010

    @ michael: Ich glaube nicht, auf seiner Webseite https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/home.html habe ich jedenfalls nichts gefunden

    @ Peter: Sehr interessante Links

    @ rolak: Stimmt, auf https://video.ias.edu/80th gibt es noch mehr interessante Festvortraege. Wann soll man sich das alles ansehen?

    @ MartinB: ist korrigiert.

  15. #15 Thilo
    11. Oktober 2010

    @ stoky
    zu 3.: Das sagt er bei 43:20:
    “ultimately, if we learn to do such a thing, it will be very liberating because then one can use reasoning systems which are known to be inconsistent but which are closer to our intuitive thinking”

  16. #16 Dr. Webbaer
    17. Oktober 2010

    Inkonsistenz ist in komplexen Gebäuden zu erwarten. Natürlich nicht wünschenswert, aber die Axiomatik kann es schon mal leisten im negativen Sinne.

    Gödel hat der Wb nie verstanden, er zitiert hier einmal die Wikipedia: “Dieser besagt, dass in einem widerspruchsfreien Axiomensystem, das genügend reichhaltig ist, um die Arithmetik (natürliche Zahlen) in der üblichen Weise aufzubauen und das überdies hinreichend einfach ist, es immer Aussagen gibt, die aus diesem weder bewiesen noch widerlegt werden können.” – wobei es dann das “genügend” bringen sollte.

    Philophische Systeme, wie die Arithmetik, müssen nicht inkonsistent sein.

    MFG
    Wb

  17. #17 H.M.Voynich
    29. Oktober 2010

    Der Webbär meint vermutlich Inkontinenz?

  18. #18 michael
    29. September 2011

    Vielleicht ist Mathematik doch inkonsistent.

    https://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-September/015816.html

  19. #19 Thilo
    29. September 2011

    Terence Tao kritisiert den Beweis: https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html#c039531

    Der Autor (Edward Nelson) widerspricht: https://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-September/015826.html

    Ich hab’ vom Thema zuwenig Ahnung, um etwas dazu zu sagen.

  20. #20 Thilo
    1. Oktober 2011

    Edward Nelson hat seine Behauptung der Inkonsistenz der Peano-Arithmetik jetzt zurückgezogen: https://m-phi.blogspot.com/2011/10/nelson-withdraws-his-claim.html

  21. #21 Thilo
    4. November 2013

    Schon ein paar Wochen alt, aber ich wollt’s (mangels Ahnung ohne inhaltlichen Kommentar) doch noch mal verlinken: https://www.scilogs.com/hlf/voevodskys-Mathematical-revolution/
    mit einem neuen Vortragsvideo

  22. #22 Gebhardt
    Heidelberg
    29. Oktober 2017

    Form childrihood it is inkonsistent
    1+1. =2
    3 sighns. =1 sighn
    Ergo3=1
    3#1 also

  23. #23 Gebhardt
    Heidelberg
    29. Oktober 2017

    Lets proof nice things
    A.’. 1=2
    B. Summenformel für Polynome p1+p2+p3+…+PN=
    C.Jura alla Viera alles,also Vergleich
    Politik variabel