Schiefer, Blätterteig und Laminierungen.

Letzte Woche hatten wir angefangen, über Thurstons Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen zu schreiben. Es gibt periodische Abbildungen, reduzible Abbildungen, und was noch?

Thurston hatte sich in den 70er Jahren mit Abbildungen f:S–>S
beschäftigt, die nicht periodisch oder reduzibel sind.
Man nimmt irgendeine geschlossene (nicht zusammenziehbare) Kurve C auf der Fläche S und schaut sich ihr Bild unter f an, also f(C).
Das kann man wiederholen (“iterieren”), also man schaut sich f(f(C)) an, dann f(f(f(C))) usw.
Wenn f nicht periodisch oder reduzibel ist, dann stellt man fest, daß man als Bilder immer “kompliziertere” Kurven bekommt.

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Und wenn man die Iteration bis ins unendliche fortsetzt, dann “konvergieren” die Bilder letztlich gegen eine “Laminierung” – und zwar immer gegen dieselbe Laminierung, unabhängig davon mit welcher Kurve C man begonnen hatte.

Die Laminierung, gegen die die Folge der Bildkurven konvergiert, hängt also nur von f, nicht von C ab. Das hatte Thurston zunächst in Computer-Experimenten beobachtet und dann auch bewiesen.

Was soll das heißen, also was bedeutet “Laminierung” und was heißt es, daß eine Folge von Kurven “gegen eine Laminierung konvergiert”?

Was ist eine Laminierung?

Eigentlich interessieren wir uns für 1-dimensionale Laminierungen von Flächen.
Wegen der schöneren Bilder erklären wir aber erst mal 2-dimensionale Laminierungen von 3-dimensionalen Räumen.

Eine 2-dimensionale Laminierung besteht aus 2-dimensionalen Blättern in einem 3-dimensionalen Raum. Lokal, in geeigneten lokalen Koordinaten, sollen die Blätter alle parallel sein, wie im Bild unten:

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Global können sich die Blätter aber durchaus voneinander weg (oder aufeinander zu) bewegen. Das kann dann so aussehen:

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oder auch so:

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oder auch noch viel, viel komplizierter.

Eine 1-dimensionale Laminierung ist dann, ganz analog, eine Zerlegung einer Fläche in Kurven, so daß in geeigneten lokalen Koordinaten die Kurven alle parallel sind. Global kann das recht kompliziert aussehen, zum Beispiel kann eine Kurve gegen eine andere Kurve ‘spiralen’. Im Bild links spiralt die weiße Kurve gegen den grünen Kreis, im Bild rechts spiralt die weiße Kurve gegen zwei grüne Kreise.

Links handelt es sich um eine Laminierung der Ebene, rechts um eine Laminierung der Brezelfläche.

Was bedeutet Konvergenz?

Normalerweise lernt man in Analysis I (und früher im Mathe-Unterricht der 11.Klasse) den Begriff “Konvergenz” für Folgen von Punkten: eine Folge von Punkten x_n konvergiert gegen einen Punkt x, wenn jede ε-Umgebung von x fast alle x_n enthält.
Auf Felix Hausdorff geht ein allgemeinerer Konvergenz-Begriff für Mengen zurück: eine Folge von Mengen M_n konvergiert gegen eine Menge M, wenn für jedes ε fast alle M_n in der ε-Umgebung von M enthalten sind und M in der ε-Umgebung von fast allen M_n enthalten ist.

In diesem Sinn soll also die Folge geschlossener Kurven fⁿ(C) gegen eine Laminierung konvergieren, wenn C eine geschlossene Kurve und f eine (nicht-periodische, nicht-reduzible) Abbildung ist.

Man kann sich z.B. im Bild oben rechts eine Folge von geschlossenen Kurven denken, die mit immer größeren Teilen der weißen Kurve fast übereinstimmen, bis man im Grenzwert die weiße UND die beiden grünen Kurven erhält.
Es ist übrigens nicht möglich, daß eine Folge von geschlossenen Kurven nur gegen die weiße Kurve konvergiert. Der Grenzwert muß immer eine abgeschlossene Menge sein, hier also die Vereinigung aus der weißen Kurve und den beiden grünen Kreisen.

In Wirklichkeit sind die Laminierungen, die man als Grenzwerte von fⁿ(C) erhält, viel komplizierter als die oben gezeichnete. Dazu später mehr.

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