Blätterungen und die Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten

Rezension zu
“Foliations and the Geometry of 3-Manifolds”, Clarendon Press Oxford Mathematical Monographs.
(Die englische Übersetzung einer ausführlicheren Version dieser Buchbesprechung erscheint in Mathematical Reviews)

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Hyperbolische Metrik auf einer Fläche (Quelle)

Die Wechselwirkung zwischen Topologie und hyperbolischer Geometrie hat sich als ein zentrales Thema in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten erwiesen. Einerseits gab es (schon vor Perelman) Beweise des Hyperbolisierungssatzes für 3-Mannigfaltigkeiten mit speziellen topologischen Eigenschaften (Haken-Mannigfaltigkeiten, Abbildungstori), andererseits wird hyperbolische Geometrie benutzt, um die Topologie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten zu verstehen.

Anosov-Abbildung (Quelle)

Ein besonders schönes Beispiel ist die Theorie 3-dimensionaler Abildungstori. Wenn M der Abbildungstorus eines Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus φ ist, dann ist M hyperbolisch und die Wechselwirkung zwischen der hyperbolischen Geometrie von M und der Dynamik von φ (beschrieben durch die Cannon-Thurston-Theorie) ist wie folgt:

Die Inklusion i:S–>M der Faser S hebt sich zu einer Abbildung I zwischen den universellen Überlagerungen. Wenn wir hyperbolische Metriken gewählt haben entspricht I einer (nicht-isometrischen) Einbettung I:H²–>H³ der hyperbolischen Ebene in den hyperbolischen Raum, und man erhält eine Abbildung zwischen den Rändern im Unendlichen δI:S¹–>S², die sich als Peano-Kurve erweist. Zwei Laminierungen Λ⁺, Λ^– des Kreises sind gegeben durch die Bedingung, daß Punkte p, q in S¹ zum selben Blatt von Λ⁺ (bzw. Λ^–) gehören, wenn sie auf denselben Punkt in S² abgebildet werden und dieser Bildpunkt durch beliebig kurze Wege auf der positiven (bzw. negativen) Seite der Bildkurve approximiert werden kann.

Diese beiden Laminierungen von S¹ geben π₁S-invariante Laminierungen von H² und damit geodätische Laminierungen der Fläche S, die gerade der stabilen bzw. instabilen Laminierung von φ entsprechen.

Laminierung der hyperbolischen Ebene (Quelle)

Noch eine andere Sichtweise aus der Dynamik ist es, den Suspensions-Fluß von φ zu betrachten. Dieser ist quasigeodätisch und ist ein Pseudo-Anosov-Fluß. Die Suspensionen der beiden Laminierungen geben natürlich die stabile bzw. instabile Laminierung des Suspensionsflusses. (Man kann zeigen, daß sie echte Laminierungen mit trivialem Guts sind, und transversal zu den Fasern.)

Ein Ziel des Buches ist eine analoge Pseudo-Anosov-Theorie für allgemeinere 3-Mannigfaltigkeiten, also eine Verallgemeinerung der für Abbildungstori von Pseudo-Anosov-Diffeomeorphismen bekannten Theorie auf eine viel größere Klasse von 3-Mannigfaltigkeiten, nämlich atoroidale 3-Mannigfaltigkeiten mit straffen Blätterungen (oder mit quasigeodätischen Flüssen). Eine der ursprünglichen Motivationen für die Entwicklung einer solchen Theorie war Thurstons Programm, die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten auf 3-Mannigfaltigkeiten mit straffen Blätterungen (oder allgemeiner mit wesentlichen Laminierungen) zu erweitern. Auch wenn diese Ansatz jetzt von Perelmans Arbeit übertroffen wurde, bleibt die Beziehung zwischen Blätterungen und hyperbolischen Strukturen ein sehr interessantes Thema.
Ein weiteres Ziel des Buches ist die Darstellung der Idee des ‘universellen Kreises im Unendlichen’ für straffe Blätterungen und andere dynamische Systeme auf 3-Mannigfaltigkeiten, insbesondere die Präsentation der Resultate des Autors in “Promoting essential laminations”. Das Buch ist aber (wie der Autor im Vorwort sagt) nicht aus einer einzelnen, kohärenten Perspektive geschrieben, sondern erklärt viele Ansätze und Konstruktionen der niedrig-dimensionalen Geometrie, oft durch Beispiele. Ein neugieriger Topologe kann das Buch auf einer beliebigen Seite aufschlagen und wird höchstwahrscheinlich immer irgendeinen ihn interessierenden Pubkt finden.

Kapitel 1 behandelt den Fall von Flächenbündeln, d.h. Abbildungstori. Nebenbei erklärt werden Dehn-Nielsen-Theorie und die Abbildungsklassengruppe, die Grobgeometrie der hyperbolischen Ebene, Teichmüller-Theorie und der Raum der gemessenen Laminierungen, und Thurstons Klassifikation der Homöomorphismen von Flächen.

Kapitel 2 mit dem harmlos klingenden Titel “The Topology of S¹” ist das längste Kapitel und sein Inhalt sollte auch für Geometer interessant sein, die mit Blätterungen nichts zu tun haben. Insbesondere die Fülle an Beispielen sollte jedem an irgendeinem Aspekt diskreter Gruppen Interessierten irgendetwas neues liefern. Das Kapitel beginnt mit den Ergebnissen über monotone Abbildungen und Laminierungen von S¹ aus “Promoting essential laminations” (die dann in Kapitel 8 benutzt werden), diskutiert dann links-geordnete bzw. zirkulär geordnete Gruppen und beweist, daß diese gerade die Untergruppen von Homeo⁺(R¹) bzw. Homeo⁺(S¹) sind. In diesem Kontext werden die Euler-Klasse, beschränkte Kohomologie und die Milnor-Wood-Ungleichung eingeführt. Es werden in diesem Kapitel viele weitere geometrische und dynamische Eigenschaften von Gruppen diskutiert, von Bavards Satz über uniform perfekte Gruppen, über laminare Gruppen, über Konvergenzgruppen, bis zu Eigenschaft T, um nur ein paar Schlagworte zu erwähnen.