Kapitel 3 behandelt Minimalflächen, alles wird von den grundlegenden Definitionen entwickelt bis zum Schoen-Yau-Existenzsatz und einigen Kompaktheitssätzen.
Kapitel 4 ist über die Grundlagen der Theorie straffer Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten. Es beginnt mit dem Satz von Frobenius, geblätterten Bündeln und Holonomie, Reeb-Stabilität und vielen interessanten Konstruktionsmethoden, geht weiter mit dem Satz von Novikov (straffe Blätterungen gibt es nur auf Prim-Mannigfaltigkeiten M, die Blätter straffer Blätterungen sind inkompressibel), dem Satz von Palmeira, aus dem folgt, daß der Raum der Blätter (für die induzierte Blätterung der universellen Überlegerung von M) eine einfach zusammenhängende 1-Mannigfaltigkeit ist, und mit Ergebnissen über Verzweigung und Distortion (zum Beispiel: die Blätter der universellen Überlagerung sind uniform eigentlich eingebettet gdw. der Raum der Blätter Hausdorffsch ist). Zum Schluß werden noch einige Ergebnisse über straffe Blätterungen auf Seifert-Faserungen beschrieben.
Kapitel 5 diskutiert eine reichhaltige Beispiel-Klasse straffer Blätterungen, nämlich Blätterungen endlicher Tiefe. Es beschreibt Thurstons Konstruktion einer Norm auf der Homologie von 3-Mannigfaltigkeiten und, mit Beweisskizze, Gabais Konstruktion von straffen Blätterungen auf Prim-Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer Homologie H2. Anwendungen auf die Komplexität der Berechnung norm-minimierender Zykel und auf die Faserbarkeit von Links werden dargestellt.
Kapitel 6 führt wesentliche Laminierungen ein. Es präsentiert eine Menge inspirierender Beispiele, erklärt den Zusammenhang mit verzweigten Flächen und verschiedene Ergebnisse über Pseudo-Anosov-Flüsse. Viele weitere Sätze werden diskutiert, wie der Satz von Britenham über normale Laminierungen, die Ergebnisse von Gabai-Kazez über schwache Hyperbolisierung atoroidaler Mannigfaltigkeiten mit echten Laminierungen und (Nicht-)Existenzsätze für wesentliche Laminierungen auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten kleinen Volumens.
Kapitel 7 beweist die Existenz eines universellen Kreises für straffe Blätterungen nach “Laminations and groups of homeomorphisms of the circle”. Ein universeller Kreis ist ein Kreis mit einer π1M-Wirkung, so daß man zu jedem Blatt λ (der Blätterung der universellen Überlagerung) eine monotone Abbildung φλ vom universellen Kreis zum ‘Rand im Unendlichen von λ’ (was ja ebenfalls ein Kreis ist) hat, die mit der π1M-Wirkung kommutiert und gewisse technische Axiome erfüllt.
Kapitel 7 enthält noch mehr Material aus “Laminations and groups of homeomorphisms of the circle”, z.B. einen Beweis von Candels Theorem über die Existenz einer blattweise hyperbolischen Metrik.
Kapitel 8 ist das technischste Kapitel, es erklärt mit vollständigen Beweisen die Resultate aus “Promoting essential laminations”: Wenn M atoroidal ist und man eine in beiden Richtungen verzweigte Blätterung hat, dann erhält man (aus den Axiomen des universellen Kreises) ein Paar wesentlicher Laminierungen transversal zur gegebenen Blätterung.
Kapitel 9 präsentiert eine unveröffentlichte Arbeit von Thurston “Three-manifolds, foliations and circles. I’ über ‘slitherings’, d.h. 3-Mannigfaltigkeiten M, deren universelle Überlagerung π1M-äquivariant über dem Kreis fasert. (Äquivalent: 3-Mannigfaltigkeiten mit einer straffen Blätterung, deren Blätter endlichen Hausdorff-Abstand voneinander haben.) Der Autor hat in “R-covered foliations of hyperbolic 3-manifolds” gezeigt, daß nicht jede unverzweigte Blätterung diese Bedingung erfüllt, trotzdem kann man auch für unverzweigte Blätterungen (atoroidaler 3-Mannigfaltigkeiten) einen ‘universellen Kreis’ und ein Paar transversaler Laminierungen konstruieren – das wurde vom Autor in “The geometry of R-covered foliations” und unabhängig von Fenley bewiesen.
Diese Ergebnisse sind komplementär zu denen aus Kapitel 8 und sie werden in Kapitel 9 in etwas verkürzter Form dargestellt. Die Existenz echter Laminierungen impliziert mit dem Gabai-Kazez-Theorem dann die Hyperbolizität von π1M, ein Ergebnis, das man jetzt natürlich auch aus Perelmans Arbeit folgern kann.
Kapitel 10 diskutiert mögliche Ansätze zu einer analytischen Theorie von Quasikreisen, sowie Verallgemeinerungen der Ergebnisse aus Kapitel 7 und 8 auf hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten mit quasigeodätischen Flüssen, und endet mit einem Ausblick auf noch nicht veröffentlichte Arbeiten von Fenley.
Das Buch gibt nicht immer formal vollständige Beweise, sondern richtet sich (wie es der Autor im Vorwort formuliert) an Leser, die “want to understand why a theorem is true, beyond being able to verify that some argument proves it. […] sometimes subtle issues are better treated by giving examples (or counterexamples) than by general nonsense.” Das Buch ist tatsächlich so geschrieben, daß vermutlich jeder geometrisch interessierte Mathematiker etwas ihn interessierendes finden wird.“The ideal reader is […] having a little bit of familiarity with Riemann surfaces and cut-and-paste topology […]. There are very few technical prerequisites: one can draw pictures which accurately represent mathematical objects, and one can do experiments and calculations which are guided by physical and spatial intuitions.”
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