Wenn wir auf der 2-Sphäre jeweils antipodale Punkte identifizieren, bekommen wir also eine Kreisscheibe und ein Möbiusband, die entlang ihres Randes verklebt sind. Das war aber gerade unsere Definition der projektiven Ebene.
Man kann also den 3-dimensionalen Raum durch Hinzunahme der 2-dimensionalen projektiven Ebene zu einem 3-dimensionalen projektiven Raum kompaktifizieren.
Das selbe kann man analog auch für höher-dimensionale Räume machen.
Eigentlich geht es uns ja für den Beweis (nach Thurston) der Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen um die Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums (der Fläche), die in diesem Beweis eine Rolle spielen wird. Der Teichmüller-Raum (der Fläche mit g Henkeln) ist ein 6g-6-dimensionaler Raum (TvF 149), den man dann also (analog zum 3-dimensionalen Raum) durch Hinzunahme eines 6g-7-dimensionalen projektiven Raumes kompaktifizieren kann. Natürlich nicht nur irgendwie topologisch (das ginge einfach genauso wie oben im 3-dimensionalen Fall), sondern mit einer Konstruktion, die einem zusätzlich noch etwas über die Wirkung der Selbstabbildungen der ursprünglichen Fläche verrät. Dazu nächste Woche.
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