Wie lassen sich Symmetrien im Unendlichen fortsetzen, differenzierbar oder nicht? Diese Frage beantwortet ein Paper in den “Mathematischen Annalen”.

Symmetrische Räume

Viele ‘natürlich’ vorkommende Räume haben viele Symmetrien.

In der klassischen euklidischen Geometrie sind das die bekannten Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen.

Auf der (n-dimensionalen) Einheitssphäre hat man als Symmetrien immerhin noch Drehungen und Spiegelungen, die Gruppe dieser Drehungen und Spiegelungen nennt man O(n+1). (Die Untergruppe der Drehungen nennt man SO(n+1).)

Die Gruppe der Isometrien der hyperbolischen Ebene ist isomorph zu PSL(2,R) bzw. (was isomorph ist) zur 2-dimensionalen Lorentz-Gruppe SO(2,1).

www.scienceu.com/library/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/escher.htmlimages.math.cnrs.fr/IMG/png/Escher030B.png

Die Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes bilden eine Gruppe isomorph zu PSL(2,C) bzw. zur 3-dimensionalen Lorentz-Gruppe SO(3,1). Allgemein: die Isometriegruppe des n-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist isomorph zu SO(n,1).

Die Symmetrien eines jeden Raumes bilden eine Gruppe. Diese Gruppe kann sehr klein sein (z.B. gibt es Räume mit der Identitätsabbildung als einziger Symmetrie) oder sehr groß wie in den Beispielen oben.
Man bezeichnet einen Raum als homogenen Raum, wenn die Isometriegruppe transitiv wirkt, d.h zu je zwei Punkten x,y gibt es eine Isometrie g mit gx=y. (In allen Beispielen oben ist das der Fall.)
Homogene Räume lassen sich beschreiben als G/K, wobei G die Isometriegruppe (oder eine transitiv wirkende Untergruppe der Isometriegruppe) ist und K die Untergruppe derjenigen Isometrien, die einen (beliebig, aber fest gewählten) Punkt festlassen. Im Fall der Sphäre oder des hyperbolischen Raumes ist jeweils K=O(n). Die n-dimensionale Sphäre läßt sich also beschreiben als O(n+1)/O(n) oder äquivalent als SO(n+1)/SO(n). Der n-dimensionale hyperbolische Raum läßt sich beschreiben als SO(n,1)/SO(n).

Ein weniger anschauliches Beispiel ist der Raum der positiv definiten nxn-Matrizen P_n(R). Auf diesem wirkt die Gruppe aller invertierbaren Matrizen GL(n,R) durch
A —-> B^tAB
für A aus P_n(R) und B aus GL(n,R),
diese Wirkung ist transitiv, die Einheitsmatrix wird durch Matrizen B aus O(n) festgelassen. Man hat also P_n(R)=GL(n,R)/O(n) oder äquivalent P_n(R)=SL(n,R)/SO(n).
Für n=2 bekommt man die hyperbolische Ebene.

Sogenannte symmetrische Räume sind spezielle homogene Räume G/K, bei denen alle Punktspiegelungen Isometrien sind. (In allen Beispielen oben ist das der Fall, es gibt aber auch homogene Räume, die nicht symmetrisch sind.)

Man unterscheidet 3 Typen symmetrischer Räume: kompakte symmetrische Räume (wie die Sphäre), euklidische symmetrische Räume (wie den Rⁿ) und sogenannte symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ (wie den hyperbolischen Raum). Diese 3 Typen kann man auch geometrisch anhand ihrer Krümmung unterscheiden: kompakte symmetrische Räue haben Krümmung ≥ 0, euklidische Räume haben Krümmung 0 und symmetrische Räume von nichtkompaktem Typ haben Krümmung ≤ 0.
Der Rang eines symmetrischen Raumes ist, per Definition, die maximale Dimension eines flachen Unterraumes. Hyperbolische Räume haben Rang 1: außer 1-dimensionale Geodäten gibt es keine flachen Unterräume, sondern alle Unterräume haben Krümmung -1. Dagegen hat P_n(R)=SL(n,R)/SO(n) den Rang n-1: die Diagonalmatrizen in SL(n,R) geben einen flachen Unterraum.
Die symmetrischen Räume negativer Krümmung sind gerade diejenigen, die von nichkompaktem Typ sind und Rang 1 haben. Außer für n=2 hat P_n(R) also nicht negative Krümmung, sondern nur Krümmung ≤ 0.

Für die symmetrischen Räume von nichtkompaktem Typ stellt sich die Frage, wie man sie kompaktifizieren kann. (Siehe TvF 154 zu Kompaktheit und Kompaktifizierungen.)
Klassisches Beispiel: das Kreisscheibenmodell der hyperbolische Ebene im Bild oben hat eine offensichtliche Kompaktifizierung, indem man zur (offenen) Kreischeibe noch den Kreis hinzunimmt. Damit bekommt man dann die abgeschlossene Kreisscheibe und tatsächlich kann man mit dieser kompakten Menge oft besser arbeiten als mit der ursprünglich offenen. Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene wirkt auch auf der Kompaktifizierung stetig (und sogar differenzierbar) und oft lassen sich Fragen über Gruppenwirkungen (von Untergruppen der Isometriegruppe) einfacher untersuchen, indem man statt der Gruppenwirkung auf der hyperbolischen Ebene die Gruppenwirkung auf dem Kreis betrachtet.

Allgemein kann man für jeden einfach zusammenhängenden Raum mit Krümmung ≤ 0 einen ‘Rand im Unendlichen’ definieren. Anschaulich besteht dieser ‘Rand im Unendlichen’ aus Endpunkten unendlicher Geodäten (wobei man sagt, daß zwei Geodäten denselben ‘Endpunkt im Unendlichen’ haben, wenn ihr Abstand beschränkt bleibt.)
Die Wirkung der Isometriegruppe auf dieser sogenannten Hadamard-Kompaktifizierung durch den ‘Rand im Unendlichen’ ist stetig.
Ist sie auch differenzierbar? Diese Frage wird in einer jetzt in den “Mathematischen Annalen” veröffentlichten (aber schon einige Jahre als Preprint kursierenden) Arbeit von B.Koeckner beantwortet, die wir im folgenden besprechen. Die Antwort ist: ja, falls der symmetrische Raum Rang 1 (also negative Krümmung) hat, nein, falls der symmetrische Raum Rang ≥ 2 (also nichtpositive, aber nicht strikt negative Krümmung) hat.

“Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications”

Sei M=G/K ein symmetrischer Raum von nichtkompakte Typ. Als einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung hat er einen idealen Rand δM und eine Hadamard-Kompaktifizierung CM=M U δM, so daß die Wirkung der Isometriegruppe G stetig auf CM fortgesetzt werden kann.

Wenn M Rank 1 hat, dann gibt es auch eine Fortsetzung der differenzierbaren Struktur auf CM, so daß G differenzierbar wirkt – die sogenannte differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierung. Zum Beispiel gibt es nicht-äquivalente differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierungen des hyperbolischen Raumes, indem man den Rand im projektiven (Klein) bzw. im konformen (Poincaré) Modell hinzufügt.

In der Arbeit “Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications” wird beweisen, daß eine solche differenzierbare Hadamard-Kompaktifizierung nicht existiert, wenn der symmetrische Raum M den Rang ≥ 2 hat.

Zunächst wird der Spezialfall H² x R¹ behandelt. Hierfür gibt der Autor ein kurzes und elegantes Argument wie folgt: der ideale Rand δM besteht aus 2 Punkten (panels) und einer 1-Parameter-Familie disjunkter Kreisbögen (chambers), die die beiden Punkte verbinden. Wenn s_x die Spiegelung an einem x in H² ist, dann hat die Ableitung von s_x x id : H² x R¹ —> H² x R¹ in (x,t) (für jedes t aus R¹) die Eigenwerte -1,-1,+1. Also, wenn sich die Wirkung der Isometriegruppe differenzierbar fortsetzen ließe, dann müßte die Ableitung von s_x:δM—->δM in den beiden Panels -id sein. Ebenso für jeden anderen Punkt y in H² muß die Ableitung von s_y in den beiden Panels -id sein. Damit muß die Ableitung der loxodromischen Isometrie s_xs_y in den beiden Panels id sein. Weil Darstellungen einfacher Lie-Gruppen entweder treu oder trivial sind, ist das ein Widerspruch.

Ein ähnliches, aber komplizierteres Argument funktioniert, wenn M von der Form M = F x R^k-1 mit rang(F)=1 ist.

Wenn M nun ein beliebiger symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ und Rang k ≥ 2 ist, dann findet man eine eingebettete Kopie von F x R^k-1 mit rang(F)=1. Es ist allerdings bisher nicht bewiesen, ob die Kompaktifizierung von F x R^k-1 in CM=MUδM eine Untermannigfaltigkeit ist. Trotzdem kann der Autor beweisen, daß der Tangentialraum von F einen “Grenzwert” an den Endpunkten singulärer Geodäten hat, welches invariant unter der Wirkung der Isometriegruppe von F wäre, wenn es eine differenzierbare Fortsetzung dieser Wirkung auf δM gäbe, und das genügt, um einen Widerspruch zu bekommen.

(Die zweite Hälfte dieses Beitrags erscheint etwas abgewandelt und übersetzt als Besprechung zu “Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications” in den “Mathematical Reviews”.)

Kloeckner, B. (2009). Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications Mathematische Annalen, 347 (4), 951-961 DOI: 10.1007/s00208-009-0464-z